Discretização x Leapfrog

A discretização de segunda ordem da equação da onda é dada por:

$\frac{U_i^{n+1}-2U_i^n+U_i^{n-1}}{(\mathrm{\Delta }t{)}^2}=v^2\frac{U_{i+1}^n-2U_i^n+U_{i-1}^n}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$

e pode ser reescrita para $U_i^{n+1}$ como:

$U_i^{n+1}=2(1-r^2)U_i^n+r^2[U_{i+1}^n+U_{i-1}^n]-U_i^{n-1},$

onde $r=v\frac{\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }x}.$

Utilizando as equações de $s$ e $k$ obtidas da dedução do método de Leapfrog, podemos escrever:

$U_i^{n+1}=s_i^{n+\frac{1}{2}}\mathrm{\Delta }t+U_i^n(1),$

$s_i^{n-\frac{1}{2}}=\frac{U_i^n-U_i^{n-1}}{\mathrm{\Delta }t},(2)$

$k_{i-\frac{1}{2}}^n=v\frac{U_i^n-U_{i-1}^n}{\mathrm{\Delta }x},(3)$

$k_{i+\frac{1}{2}}^n=v\frac{U_{i+1}^n-U_i^n}{\mathrm{\Delta }x}(4)$

e

$s_i^{n+\frac{1}{2}}=s_i^{n-\frac{1}{2}}+r(k_{i+\frac{1}{2}}^n-k_{i-\frac{1}{2}}^n).(5)$

Substituindo as equações (2), (3) e (4) em (5), obtemos:

$s_i^{n+\frac{1}{2}}=\frac{U_i^n-U_i^{n-1}}{\mathrm{\Delta }t}+\frac{v^2\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }x}(U_{i+1}^n+U_{i-1}^n-2U_i^n).(6)$

Por fim, substituindo a equação (6) na equação (1), obtemos

$U_i^{n+1}=U_i^n-U_i^{n+1}+\frac{v^2\mathrm{\Delta }{t}^2}{\mathrm{\Delta }{x}^2}(U_{i+1}^n+U_{i-1}^n-2U_i^n)+U_i^n,$

de onde podemos obter a mesma expressão que a discretização de segunda ordem da equação da onda nos dá:

$U_i^{n+1}=2(1-r^2)U_i^n+r^2[U_{i+1}^n+U_{i-1}^n]-U_i^{n-1}.$