Método dos Elementos Finitos - Equação do Calor
INTRODUÇÃO
Equação do Calor (1D)
A equação do calor em 1D descreve a evolução da temperatura Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(x,t)} ao longo do tempo em uma barra unidimensional, sujeita a condições de contorno e a uma difusão térmica (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} ). A equação diferencial que governa o comportamento do sistema é dada por:
Forma Forte
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}}
Condição Inicial
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(t=0,x)=sin(\pi x)}
Condição de Contorno
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(t,x=0)=0=u(t,x=L)}
Método dos Elementos Finitos (FEM)
O Método dos Elementos Finitos (FEM, do inglês Finite Element Method) é uma técnica amplamente utilizada para resolver equações diferenciais parciais, como a equação do calor. Para aplicar o FEM à equação do calor em 1D, a barra [0,1] é dividida em um número finito de elementos (intervalos) de comprimento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta x} , e as variáveis contínuas são aproximadas por funções de base definidas localmente em cada elemento.
Forma Fraca
Apesar de o problema estar completo na forma forte, que é a mostrada acima, precisamos representá-lo na forma equivalente, chamada forma fraca. A forma fraca é preferível por diversos motivos, sendo um dos principais o fato de que ela não possui derivadas de segunda ordem, possibilitando o uso de funções lineares para fazer a aproximação, que na forma forte teriam essa derivada nula. Para obter a forma fraca a partir da forma forte, deve-se seguir os seguintes passos:
- Multiplica-se por uma função teste Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} do mesmo espaço de funções definido nos elementos.
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}v = \alpha \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}v}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_0^L \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} v(x) \, dx = \alpha \int_0^L \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} v(x) \, dx}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_0^1 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} v \, dx = \left[ \frac{\partial u}{\partial x} v \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x} \, dx}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_0^1 \frac{\partial u}{\partial t} v \, dx + \int_0^1 \alpha \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x} \, dx = \left[ \alpha \frac{\partial u}{\partial x} v \right]_0^1}
O lado direito zera devido às condições de contorno
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_0^1 \frac{\partial u}{\partial t} v \, dx + \int_0^1 \alpha \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x} \, dx = 0}
Essa é a forma fraca, mas ainda precisamos discretizá-la tanto no espaço quanto no tempo para aplicar o FEM.
Fenics
O Fenics é uma plataforma de computação popular e de código aberto para resolver equações diferenciais parciais (PDEs) usando o método dos elementos finitos (FEM). Na prática, ajuda a discretizar a parte espacial e a resolver o sistema de equações lineares.
Discretização Temporal
Devemos discretizar a parte temporal para obter a forma fraca final para usar o Fenics. Para isso, usaremos o método de Euler Implícito.
Fazemos a aproximação:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u^{t+1} - u^t}{\Delta t}}
Substituindo na forma fraca: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_0^L \frac{u^{t+1} - u^t}{\Delta t} v \, dx + \int_0^L \alpha \frac{\partial u^{t+1}}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x} \, dx = 0}
Multiplicando por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t} : Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_0^L u^{t+1} v \, dx - \int_0^L u^t v \, dx + \Delta t \int_0^L \alpha \frac{\partial u^{t+1}}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x} \, dx = 0}
Reorganizando os termos, temos: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_0^L u^{t+1} v \, dx + \Delta t \int_0^L \alpha \frac{\partial u^{t+1}}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x} \, dx = \int_0^L u^t v \, dx}
Para fazer a implementação no Fenics, devemos escrever na versão mais geral, com dimensão arbitrária, utilizando gradiente e produto escalar:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{\Omega} u^{t+1} v \, d\Omega + \Delta t \int_{\Omega} \alpha \nabla u^{t+1} \cdot \nabla v \, d\Omega = \int_{\Omega} u^t v \, d\Omega}
Resultados
Como esperado pela solução analítica, a partir das condições iniciais e de contorno escolhidas, a amplitude do seno diminui exponencialmente com o tempo
O intervalo de tempo escolhido tem grande influência na acurácia do resultado. Nas figuras 3, 4 e 5 são mostradas a solução obtida pelo FEM em comparação com a solução analítica para diferentes instantes de tempo. É possível perceber que a solução, independente do intervalo de tempo (dt) escolhido, é muito boa para tempos curtos. Entretanto, quanto maior o tempo, maior será o erro para dt maiores.
Alem disso, para demonstrar a influência do número de elementos para a qualidade do resultado, são comparadas nas figuras 6, 7 e 8 a solução analítica com a solução obtida pelo FEM. Para um número de elementos muito pequeno, a curva é uma aproximação grosseira e claramente linear em partes. Quando aumentamos os elementos, entretanto, rapidamente a curva suaviza e obtemos uma ótima aproximação para o resultado analítico. Assim como discutido anteriormente, a aproximação piora com o passar do tempo.
