Método dos Elementos Finitos - Equação do Calor

Introdução

O Método dos Elementos Finitos (FEM) é uma ferramenta numérica amplamente utilizada na resolução de problemas de engenharia e física que envolvem equações diferenciais parciais.

Dentre suas principais vantagens, o FEM permite abordar problemas complexos, mesmo em situações com geometrias irregulares, condições de contorno variadas e materiais com propriedades heterogêneas.

Neste trabalho, utilizamos o FEM para estudar a equação do calor, que descreve a distribuição de temperatura em um meio ao longo do tempo e do espaço. A escolha da equação do calor em uma dimensão se deve à existência de uma solução analítica exata, o que possibilita validar os resultados numéricos. Além disso, o método pode ser facilmente generalizado para problemas em dimensões superiores e configurações mais complexas, demonstrando sua versatilidade e eficácia em diferentes aplicações.

Equação do Calor (1D)

A equação do calor em 1D descreve a evolução da temperatura $u(x,t)$ ao longo do tempo em uma barra unidimensional, sujeita a condições de contorno e a uma difusão térmica ($\alpha$). A equação diferencial que governa o comportamento do sistema é dada por:

Forma Forte

${\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}$

Condição Inicial

A condição inicial escolhida em todas as simulações é:

$u(t=0,x)=sin(\pi x)$

Figura 1: Condição inicial para a equação do calor.

Condição de Contorno

Foram escolhidas as condições de contorno homogêneas de Dirichlet, ou seja, temperatura nula nas extremidades da barra duranto todo o tempo.

$u(t,x=0)=0=u(t,x=L)$

Solução Analítica

A solução analítica é dada por:

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}e^{-\alpha \left({\frac {n\pi }{L}}\right)^{2}t}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right),$

Para $L=1$, $\alpha =1$ e as condições iniciais acima, todos os coeficientes são nulos exceto $b_{1}=1$

Obtemos então:

$u(x,t)=e^{-\pi ^{2}\alpha t}\sin(\pi x),$

Método dos Elementos Finitos (FEM)

O Método dos Elementos Finitos (FEM, do inglês Finite Element Method) é uma técnica amplamente utilizada para resolver equações diferenciais parciais, como a equação do calor. Para aplicar o FEM à equação do calor em 1D, a barra [0,1] é dividida em um número finito de elementos (intervalos) de comprimento $\Delta x$, e as variáveis contínuas são aproximadas por funções de base definidas localmente em cada elemento.

Forma Fraca

Apesar de o problema estar completo na forma forte, que é a mostrada acima, precisamos representá-lo na forma equivalente, chamada forma fraca. A forma fraca é preferível por diversos motivos, sendo um dos principais o fato de que ela não possui derivadas de segunda ordem, possibilitando o uso de funções lineares para fazer a aproximação, que na forma forte teriam essa derivada nula. Para obter a forma fraca a partir da forma forte, deve-se seguir os seguintes passos:

• Multiplica-se por uma função teste $v$ do mesmo espaço de funções definido nos elementos.

${\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}v=\alpha {\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}v$

$\int _{0}^{L}{\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}v(x)\,dx=\alpha \int _{0}^{L}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}v(x)\,dx$

$\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}v\,dx=\left[{\frac {\partial u}{\partial x}}v\right]_{0}^{1}-\int _{0}^{1}{\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial x}}\,dx$

$\int _{0}^{1}{\frac {\partial u}{\partial t}}v\,dx+\int _{0}^{1}\alpha {\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial x}}\,dx=\left[\alpha {\frac {\partial u}{\partial x}}v\right]_{0}^{1}$

O lado direito zera devido às condições de contorno

$\int _{0}^{1}{\frac {\partial u}{\partial t}}v\,dx+\int _{0}^{1}\alpha {\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial x}}\,dx=0$

Essa é a forma fraca, mas ainda precisamos discretizá-la tanto no espaço quanto no tempo para aplicar o FEM.

Fenics

O FEniCS (Finite Element Computational Software) é uma plataforma de software de código aberto projetada para resolver problemas numéricos usando o Método dos Elementos Finitos (FEM). Ele é amplamente utilizado para resolver equações diferenciais parciais (EDPs). Na prática, ajuda a discretizar a parte espacial e a resolver o sistema de equações lineares.

Discretização Temporal

Devemos discretizar a parte temporal para obter a forma fraca final para usar o Fenics. Para isso, usaremos o método de Euler Implícito.

Fazemos a aproximação:

${\frac {\partial u}{\partial t}}\approx {\frac {u^{t+1}-u^{t}}{\Delta t}}$

Substituindo na forma fraca: $\int _{0}^{L}{\frac {u^{t+1}-u^{t}}{\Delta t}}v\,dx+\int _{0}^{L}\alpha {\frac {\partial u^{t+1}}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial x}}\,dx=0$

Multiplicando por $\Delta t$: $\int _{0}^{L}u^{t+1}v\,dx-\int _{0}^{L}u^{t}v\,dx+\Delta t\int _{0}^{L}\alpha {\frac {\partial u^{t+1}}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial x}}\,dx=0$

Reorganizando os termos, temos: $\int _{0}^{L}u^{t+1}v\,dx+\Delta t\int _{0}^{L}\alpha {\frac {\partial u^{t+1}}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial x}}\,dx=\int _{0}^{L}u^{t}v\,dx$

Para fazer a implementação no Fenics, devemos escrever na versão mais geral, com dimensão arbitrária, utilizando gradiente e produto escalar:

$\int _{\Omega }u^{t+1}v\,d\Omega +\Delta t\int _{\Omega }\alpha \nabla u^{t+1}\cdot \nabla v\,d\Omega =\int _{\Omega }u^{t}v\,d\Omega$

Resultados

Como esperado pela solução analítica, a partir das condições iniciais e de contorno escolhidas, a amplitude do seno diminui exponencialmente com o tempo

O intervalo de tempo escolhido tem grande influência na acurácia do resultado. Nas figuras 3, 4 e 5 são mostradas a solução obtida pelo FEM em comparação com a solução analítica para diferentes instantes de tempo. É possível perceber que a solução, independente do intervalo de tempo (dt) escolhido, é muito boa para tempos curtos. Entretanto, quanto maior o tempo, maior será o erro para dt maiores.

Figura 2: Comparação da solução analítica com a solução do método dos elementos finitos para diferentes intervalos de tempo e mantendo fixo t=0.02.

Figura 3: Comparação da solução analítica com a solução do método dos elementos finitos para diferentes intervalos de tempo e mantendo fixo t=0.05.

Figura 4: Comparação da solução analítica com a solução do método dos elementos finitos para diferentes intervalos de tempo e mantendo fixo t=0.01..

Figura 5: Comparação da solução analítica com a solução do método dos elementos finitos para diferentes intervalos de tempo e mantendo fixo t=0.3.

Alem disso, para demonstrar a influência do número de elementos para a qualidade do resultado, são comparadas nas figuras 6, 7 e 8 a solução analítica com a solução obtida pelo FEM. Para um número de elementos muito pequeno, a curva é uma aproximação grosseira e claramente linear em partes. Quando aumentamos os elementos, entretanto, rapidamente a curva suaviza e obtemos uma ótima aproximação para o resultado analítico. Assim como discutido anteriormente, a aproximação piora com o passar do tempo.

Figura 6: Comparação de diferentes números de elementos (mesh) com a solução analítica, mantendo fixos dt=0.005 e mantendo fixo t=0.02.

Figura 7: Comparação de diferentes números de elementos (mesh) com a solução analítica, mantendo fixos dt=0.005 e mantendo fixo t=0.1.

Figura 8: Comparação de diferentes números de elementos (mesh) com a solução analítica, mantendo fixos dt=0.005 e mantendo fixo t=0.3.

Conclusão

Este trabalho aplicou o Método dos Elementos Finitos (FEM) para resolver a equação do calor unidimensional, utilizando a solução analítica como referência para validar os resultados numéricos. A comparação entre ambas as soluções revelou que o FEM oferece boas aproximações, com precisão que depende da escolha do passo temporal e do número de elementos.

Embora o erro numérico cresça com o tempo, principalmente para passos temporais maiores, o FEM se mostrou eficaz e estável, especialmente quando combinado com o método de Euler Implícito para a discretização temporal. Além disso, a generalização do método para problemas em dimensões superiores ou com geometrias mais complexas destaca sua versatilidade e aplicabilidade em diferentes contextos da engenharia e física, apesar de que talvez fosse necessário aplicar outros métodos de discretização temporal.