Método dos Elementos Finitos - Equação do Calor

Equação do Calor (1D)

A equação do calor em 1D descreve a evolução da temperatura $u(x,t)$ ao longo do tempo em uma barra unidimensional, sujeita a condições de contorno e a uma difusão térmica ($\alpha$). A equação diferencial que governa o comportamento do sistema é dada por:

Forma Forte

${\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}$

Condições Iniciais

$u(t=0,x)=sin(\pi x)$

Condições de Contorno

$u(t,x=0)=0=u(t,x=L)$

Método dos Elementos Finitos (FEM)

O Método dos Elementos Finitos (FEM, do inglês Finite Element Method) é uma técnica amplamente utilizada para resolver equações diferenciais parciais, como a equação do calor. Para aplicar o FEM à equação do calor em 1D, a barra [0,1] é dividida em um número finito de elementos (intervalos) de comprimento $\Delta x$, e as variáveis contínuas são aproximadas por funções de base definidas localmente em cada elemento.

Forma Fraca

Apesar de o problema estar completo na forma forte, que é a mostrada acima, precisamos representá-lo na forma equivalente, chamada forma fraca. A forma fraca é preferível por diversos motivos, sendo um dos principais o fato de que ela não possui derivadas de segunda ordem, possibilitando o uso de funções lineares para fazer a aproximação, que na forma forte teriam essa derivada nula. Para obter a forma fraca a partir da forma forte, deve-se seguir os seguintes passos:

• Multiplica-se por uma função teste $v$ do mesmo espaço de funções definido nos elementos.

${\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}v=\alpha {\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}v$

$\int _{0}^{L}{\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}v(x)\,dx=\alpha \int _{0}^{L}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}v(x)\,dx$

$\int _{0}^{1}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}v\,dx=\left[{\frac {\partial u}{\partial x}}v\right]_{0}^{1}-\int _{0}^{1}{\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial x}}\,dx$

$\int _{0}^{1}{\frac {\partial u}{\partial t}}v\,dx+\int _{0}^{1}\alpha {\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial x}}\,dx=\left[\alpha {\frac {\partial u}{\partial x}}v\right]_{0}^{1}$

O lado direito zera devido às condições de contorno

$\int _{0}^{1}{\frac {\partial u}{\partial t}}v\,dx+\int _{0}^{1}\alpha {\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial x}}\,dx=0$

Essa é a forma fraca, mas ainda precisamos discretizá-la tanto no espaço quanto no tempo para aplicar o FEM.

Fenics

O Fenics é uma plataforma de computação popular e de código aberto para resolver equações diferenciais parciais (PDEs) usando o método dos elementos finitos (FEM). Na prática, ajuda a discretizar a parte espacial e a resolver o sistema de equações lineares.

Parte Temporal

Devemos discretizar a parte temporal para obter a forma fraca final para usar o Fenics.

${\frac {\partial u}{\partial t}}\approx {\frac {u^{t+1}-u^{t}}{\Delta t}}$ $\int _{0}^{L}{\frac {u^{t+1}-u^{t}}{\Delta t}}v\,dx+\int _{0}^{L}\alpha {\frac {\partial u^{t+1}}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial x}}\,dx=0$ $\int _{0}^{L}u^{t+1}v\,dx-\int _{0}^{L}u^{t}v\,dx+\Delta t\int _{0}^{L}\alpha {\frac {\partial u^{t+1}}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial x}}\,dx=0$ $\int _{0}^{L}u^{t+1}v\,dx+\Delta t\int _{0}^{L}\alpha {\frac {\partial u^{t+1}}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial x}}\,dx=\int _{0}^{L}u^{t}v\,dx$