Método dos Elementos Finitos - Equação do Calor

Equação do Calor (1D)

A equação do calor em 1D descreve a evolução da temperatura $u(x,t)$ ao longo do tempo em uma barra unidimensional, sujeita a condições de contorno e a uma difusão térmica ($\alpha$). A equação diferencial que governa o comportamento do sistema é dada por:

${\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}$

Condições Iniciais

$u(t=0,x)=sin(\pi x)$

Condições de Contorno

$u(t,x=0)=0=u(t,x=L)$

Forma Fraca

• Multiplica-se por uma função teste $v$ do mesmo espaço de funções definido nos elementos.

${\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}v=\alpha {\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}v$

\int_0^L \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} v(x) \, dx = \alpha \int_0^L \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} v(x) \, dx

Método dos Elementos Finitos (FEM)

O Método dos Elementos Finitos (FEM, do inglês Finite Element Method) é uma técnica amplamente utilizada para resolver equações diferenciais parciais, como a equação do calor. Para aplicar o FEM à equação do calor em 1D, a barra [0,L] é dividida em um número finito de elementos (intervalos) de comprimento $\Delta x$, e as variáveis contínuas são aproximadas por funções de base definidas localmente em cada elemento.