Equação de Cahn-Hilliard em 2D

Leonardo Dasso Migottto WORK IN PROGRESS

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard, utilizando a Transformada Rápida de Fourier [1] em uma e (principalmente) em duas dimensões. Será explorado as variações em concentração inicial e seus respectivos padrões formados, dados coeficientes de difusão e largura da superfície fixos.

Esta equação já foi tratada em detalhes por colegas anteriores a mim[2], e a leitura do trabalho por eles desenvolvido é recomendada para maior entendimento da equação. O foco deste trabalho é explorar a solução numérica para a equação quando tratada em duas dimensões, onde a formação de padrões apresenta resultados mais interessantes. No entanto, a fim de facilitar a implementação e entendimento em duas dimensões, também será exibido uma implementação em uma dimensão.

Equação de Cahn-Hiliiard utilizando Transformada de Fourier

Para encontrar a equação que implementaremos com o uso da Transformada Rápida de Fourier, precisamos encontrar a nossa equação representada no espaço de Fourier. Seguirei a literatura de S. Bulent Biner [3], onde há um capítulo dedicado a resolver equações de difusão com métodos que utilizam esta transformada. Primeiro, resolveremos em uma dimensão a equação, que segue abaixo:

${\frac {\partial c}{\partial t}}=D{\nabla }^{2}(c^{3}-c-\gamma {\nabla }^{2}c)$

Em uma dimensão, os laplacianos podem ser substituídos pela derivada segunda em relação a $x$, resultando na seguinte equação:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial c}{\partial t} = D \Bigl( \frac{\partial^2 (c^3 - c)}{\partial x^2} - \gamma \frac{\partial^4 c}{\partial x^4} \Bigr) }

Para solucioná-la numericamente, aplicaremos a Transformada de Fourier à frente em ambos os lados, da maneira descrita abaixo, onde k é o respectivo coeficiente de Fourier):

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial \{c\}_k}{\partial t} = D \Bigl( \Bigl\{ \frac{ \partial^2 c^3 - c}{\partial x^2} \Bigr\}_k - \gamma \Bigl\{ \frac{\partial^4 c}{\partial x^4} \Bigr\}_k \Bigr) }

Em seguida, substituimos as derivadas espaciais pela sua equivalente no espaço de Fourier:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Bigl\{ \frac{\partial^n c}{\partial x^n} \Bigr\}_k \to (ik)^n \{c\}_k }

Assim, obtemos a seguinte equação:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial \{c\}_k}{\partial t} = D \bigl(-k^2 (\{c^3\}_k - \{c\}_k) - \gamma k^4 \{c\}_k \bigr) }

O próximo passo é fazer a derivada à direita quanto ao tempo da seguinte maneira:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial \{c\}_k}{\partial t}\to \frac{\{c\}_k^{n+1}-\{c\}_k^n}{\Delta t} }

Substituindo na equação e reescrevendo-a a fim de isolar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{c\}_k^{n+1}} , obtemos a equação final:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{c\}_k^{n+1} = \{c\}_k^n + D \Delta t \bigl(-k^2 (\{c^3\}_k^n - \{c\}_k^n) - \gamma k^4 \{c\}_k^n \bigr) }

Dado que conhecemos a forma da equação em uma dimensão, podemos encontrar sua equivalente bidimensional com maior facilidade. A única diferença entre as duas equações está no laplaciano, que resultará na derivada no eixo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} aparecer também. No entanto, a notação da transformada permanece a mesma, e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} representará um vetor com coordenada Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (k_{1}, k_{2})} com módulo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{k_1^2 + k_2^2}} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_1} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_2} são os coeficientes em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} respectivamente.

Resultados em uma dimensão e discussão

Como já há um trabalho que trata em detalhes a implementação unidimensional e seus resultados, irei comparar aqui ambas implementações. Abaixo, vemos uma animação comparando ambos métodos a partir de uma condição inicial aleatória, utillizando condições de contorno periódicas, com o maior valor de erro destacado no topo. O valor das constantes relevantes são: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t = \frac{10^{-6}}{22}, \Delta x = \frac{1}{128}, D = 1, \gamma = \frac{3.4}{128}} .

FALAR DO ERRO E PROCURAR ERRO DO METODO EM ALGUM LUGAR NA INTERNET

Resultados em duas dimensões

Para todos resultados abaixo, foram utilizados as seguintes constantes relevantes: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t = \frac{1.8}{10^-7}, \Delta x = \frac{1}{128}, D = 1, \gamma = 0.01} . Segue abaixo uma animação da difusão sob estes parâmetros com concentração média 0.

INSERIR GIF AQUI

Aqui há uma animação de um gráfico com concentração média inicial 0.5 (como se houvesse 75% em uma fase e 25% em outra).

Discussão dos resultados em duas dimensões

Podemos notar que há a formação de "listras" conforme passa o tempo, de modo que estas listras tornam-se mais largas. Também nota-se que, quanto mais tempo se passa, menor é o movimento das concentrações, por elas estarem se aproximando da estabilidade. É intuitivo que, neste caso, o estado de equilíbrio do sistema seja quando há somente dois "blocos", um de cada cor, de modo que as "listras" (dois grandes blocos, neste caso) não tenham como se tornar mais largas.

Referências

[1] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/FFT

[2] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Cahn-Hilliard

[3] S_Bulent_Biner_Programming_Phase_Field_Modeling_Springer_2017