Pêndulos Estocásticos

De Física Computacional
Revisão de 16h41min de 21 de agosto de 2024 por Joshuakipper (discussão | contribs) (→‎Energia)
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Grupo : Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

Pêndulo Simples

Equação de movimento

Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento , sem massa e rígida que contém uma massa pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é , a equação de movimento é dada por:

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em , tal que sua componente tangencial () pode ser modelada por um ruído branco gaussiano da seguinte forma

em que é a intensidade do ruído. é caracterizado pelas seguintes propriedades:

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que , então

Método de integração

Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável , então ficamos com o seguinte sistema

que pode ser escrito na forma diferencial

mas é o incremento do processo de Wiener (), então

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de para tem desvio padrão igual a

em que é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para ) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

  • Calcular um theta intermediário:
   
  • Com calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
   
Em que é a expressão do método de Euler visto logo acima.
  • Recalcular theta utilizando um omega intermediário
   
  • Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
   
OBS: No cálculo de e foi utilizado o mesmo .

Energia (Sem amortecimento)

Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando . Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável () com

Pêndulo partindo do repouso com ruído.

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de :

  • Utilizando , integrar o sistema até , calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado utilizado
Energia média em função tempo.
O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.
  • Realizar um ajuste linear nos dados para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído ().

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico . Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência , então foi realizado outro ajuste linear para encontra o expoente , a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

Potência em função do ruído (). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.

Portanto, aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com . Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com e os resultados foram comparados com

Energia média para muito pequeno comparado com nulo.

Energia (Com amortecimento)

Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando e foi obtido o seguinte resultado

Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a anergia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de :

  • Para diversos valores de , executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
  • Para cada conjunto de dados gerados por um determinado , selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média ().

Produzindo o gráfico de obtemos

Energia estabilizada média em função de para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma . Para os dados utilizados no ajuste foram apenas até (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de , serem aproximadamente 2.

Pêndulo invertido

O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é , sendo que agora é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.


Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de e o último provém da "mola" em . Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que . Introduzindo a variável , ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um médio no argumento do seno que multiplica

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração quando é adicionado ruído e amortecimento. Se é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial , com valores de muito próximos:

Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.
Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.

os seguintes valores foram utilzados

  • g = l = 1
  • k = 1.1

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.

Pêndulo Duplo Estocástico

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

Pêndulo Duplo não estocástico.

Equação de movimento

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares e como as variáveis generalizadas e são dadas por:

mantendo , , , , fixos, defina :

assim as equações dinâmicas ficam escritas de maneira mais compacta:

suponha que haja um força externa ruidosa, , onde além de dar a intensidade do ruído branco, terá consigo todas as constantes agrupadas. Assim as equações de movimento se tornam:

Método de integração

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja o sistema de equações se torna:

na forma diferencial:

onde é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

para e .

Retrato de fase

Energia

Vamos analisar a como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com diferentes sistemas com ruído aditivo.

Caso 1 : Ruído em θ₁

Caso 2 : Ruído em θ₂

Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂

Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂