Grupo : Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.
Pêndulo Simples
Equação de movimento
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento
, sem massa e rígida que contém uma massa
pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.
Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.
Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é
, a equação de movimento é dada por:
Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em
, tal que sua componente tangencial (
) pode ser modelada por um ruído branco gaussiano
da seguinte forma
em que
é a intensidade do ruído.
é caracterizado pelas seguintes propriedades:
Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com
A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que
, então
Método de integração
Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável
, então ficamos com o seguinte sistema
que pode ser escrito na forma diferencial
mas
é o incremento do processo de Wiener
, então
Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de
para
tem desvio padrão igual a
em que
é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.
Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para
) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:
- Calcular um theta intermediário:
- Com
calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
- Em que
é a expressão do método de Euler visto logo acima.
- Recalcular theta utilizando um omega intermediário
- Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
- OBS: No cálculo de
e
foi utilizado o mesmo
.
Energia (Sem amortecimento)
Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (
), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando
. Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável (
) com
Pêndulo partindo do repouso com ruído.
Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de
:
- Utilizando
, integrar o sistema até
, calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado
utilizado
Energia média em função tempo.
- O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.
- Realizar um ajuste linear nos dados
para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído (
).
Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico
. Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência
, então foi realizado outro ajuste linear para encontrar o expoente
, a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:
Potência em função do ruído (
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.
Portanto,
aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com
. Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para
muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com
e os resultados foram comparados com
Energia média para
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
muito pequeno comparado com
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
nulo.
Energia (Com amortecimento)
Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando
e
foi obtido o seguinte resultado
Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.
claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a energia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de
:
- Para diversos valores de
, executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
- Para cada conjunto de dados gerados por um determinado
, selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média (
).
Produzindo o gráfico de
obtemos
Energia estabilizada média em função de
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.
as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma
. Para
os dados utilizados no ajuste foram apenas até
(indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de
, serem aproximadamente 2.
Pêndulo invertido
O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é
, sendo que agora
é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir
Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.
Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é
O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de
e o último provém da "mola" em
. Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que
. Introduzindo a variável
, ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial
Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um
médio no argumento do seno que multiplica
Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.
Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração
quando é adicionado ruído e amortecimento. Se
é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial
, com valores de
muito próximos:
os seguintes valores foram utilzados
![{\displaystyle g=l=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee60506f0b20c940abcbbf31ccdb48c5809c5214)
![{\displaystyle k=1.1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/924fee8148ae7830db0d79b446df02e70a015198)
No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com
para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido
Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.
Pêndulo Duplo
O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.
Pêndulo duplo não estocástico.
Equação de movimento
O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares
e
como as variáveis generalizadas e são dadas por:
Mantendo
,
,
, e
fixos, defina :
assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,
Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre
tal que,
, onde
além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para
. Assim as equações de movimento se tornam:
Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.
Método de integração
Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja
, reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:
na forma diferencial:
onde
é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:
novamente,
é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para
e
. Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de
, o que se espera de um método de quarta ordem.
Retrato de fase
O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo
e a velocidade angular
no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.
Caso 1 : Ruído em θ₁
Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em
![{\displaystyle \theta _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f84b9443d095623e02fd287cd095123d70b0278)
,
![{\displaystyle \sigma =0.5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b796348da8cbec8ced184239d6cdb6fa7526d5)
e
![{\displaystyle dt=0.01}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a6d447b9bc9d9e278587bfcb1a0c072a6ef3558)
.
Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de
e
. O retrato de fase para
versus
mostra uma dispersão maior em comparação com
versus
, onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.
Caso 2 : Ruído em θ₂
Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em
![{\displaystyle \theta _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ed6ea624b20b153403979ffaf5434fc36de2990)
,
![{\displaystyle \sigma =0.5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b796348da8cbec8ced184239d6cdb6fa7526d5)
e
![{\displaystyle dt=0.01}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a6d447b9bc9d9e278587bfcb1a0c072a6ef3558)
.
Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo,
e
exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto
versus
pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de
para
.
Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂
Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em
![{\displaystyle \theta _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f84b9443d095623e02fd287cd095123d70b0278)
e
![{\displaystyle \theta _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ed6ea624b20b153403979ffaf5434fc36de2990)
,
![{\displaystyle \sigma =0.5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b796348da8cbec8ced184239d6cdb6fa7526d5)
e
![{\displaystyle dt=0.01}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a6d447b9bc9d9e278587bfcb1a0c072a6ef3558)
.
Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de
e
serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre
e
.
Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂
Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em
![{\displaystyle \theta _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f84b9443d095623e02fd287cd095123d70b0278)
e
![{\displaystyle \theta _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ed6ea624b20b153403979ffaf5434fc36de2990)
,
![{\displaystyle \sigma =0.5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b796348da8cbec8ced184239d6cdb6fa7526d5)
e
![{\displaystyle dt=0.01}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a6d447b9bc9d9e278587bfcb1a0c072a6ef3558)
.
Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de
versus
e
versus
podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.
Energia
Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :
- Em todas as simulações fixamos
=
=
=
=
;
- As condições inicias serão sempre
=
=
=
=
;
- Em todas as simulações o passo temporal é
;
- Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.
Caso 1 : Ruído em θ₁
Nesta simulação, uma força ruidosa foi introduzida exclusivamente na equação dinâmica para
. A análise da energia mecânica média revela um aumento linear ao longo do tempo, indicando que, em média, o ruído está efetivamente injetando energia no sistema.
Energia mecânica média do pêndulo duplo sujeito a um ruído em
![{\displaystyle \theta _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f84b9443d095623e02fd287cd095123d70b0278)
.
No entanto, o desvio padrão dessa energia é extremamente elevado, o que sugere que, em certos momentos, a quantidade de energia injetada pelo ruído é quase nula. Esse comportamento pode ser exemplificado pelo fenômeno de ressonância destrutiva, como ilustrado no seguinte exemplo:
Energia mecânica do pêndulo duplo sujeito a um ruído em
![{\displaystyle \theta _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f84b9443d095623e02fd287cd095123d70b0278)
.
Simulação do pêndulo duplo sujeito a um ruído em
![{\displaystyle \theta _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f84b9443d095623e02fd287cd095123d70b0278)
.
Por volta dos 30 segundos de simulação, é possível observar uma ressonância destrutiva, causada pela interação entre o ruído aplicado e a inércia do sistema, que resulta em uma diminuição temporária da energia mecânica.
Caso 2 : Ruído em θ₂
Nesta simulação, uma força ruidosa foi introduzida exclusivamente na equação dinâmica para
. Observa-se, de maneira semelhante ao caso anterior, um aumento linear da energia mecânica média do sistema.
Energia mecânica média do pêndulo duplo sujeito a um ruído em
![{\displaystyle \theta _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ed6ea624b20b153403979ffaf5434fc36de2990)
.
Embora essa situação pareça análoga ao caso 1, uma análise comparativa entre a energia adicionada em ambos os casos revela diferenças importantes:
Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.
Os resultados mostram que, em média, a introdução de ruído no primeiro pêndulo do sistema provoca um aumento mais significativo na energia mecânica média em comparação com a aplicação de ruído apenas no segundo pêndulo.
Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂
Nessa simulação faremos a comparação entre dois casos :
- Adicionaremos o mesmo ruído em
e
;
- Adicionaremos ruídos diferentes em
e
.
A seguir, analisamos a energia mecânica média em ambos os casos :
Comparação entre a energia mecânica média do pêndulo quando há uma simetria no ruído e quando não há.
Os resultados mostram que, em média, a aplicação de ruídos simétricos em
e
leva a um aumento mais
pronunciado da energia mecânica. Esse efeito é atribuído a uma ressonância construtiva entre os ruídos idênticos, amplificando a energia do sistema. Em contraste, a aplicação de ruídos distintos provoca uma competição entre forças momentaneamente opostas, resultando em uma ressonância destrutiva que atenua o aumento da energia. Apresentamos também como se comporta a energia mecânica média para diferentes intensidades de ruído:
Energia mecânica do pêndulo duplo sujeito ao mesmo ruído em
![{\displaystyle \theta _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f84b9443d095623e02fd287cd095123d70b0278)
e
![{\displaystyle \theta _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ed6ea624b20b153403979ffaf5434fc36de2990)
.
Energia mecânica do pêndulo duplo sujeito a um ruído em
![{\displaystyle \theta _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f84b9443d095623e02fd287cd095123d70b0278)
e outro em
![{\displaystyle \theta _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ed6ea624b20b153403979ffaf5434fc36de2990)
.
Essas simulações foram repetidas 50 vezes.
Referências
- NASCIMENTO, Luciano. A dinâmica lagrangeana do pêndulo duplo. Educ.&Tecnol., Belo Horizonte, v. 22, n. 1, p. 64-71, jan./abr. 2017.