Equação de Cahn-Hilliard em 2D

Leonardo Dasso Migottto WORK IN PROGRESS

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard, utilizando a Transformada Rápida de Fourier [1] em uma e (principalmente) em duas dimensões. Será explorado as variações em concentração inicial e seus respectivos padrões formados, dados coeficientes de difusão e largura da superfície fixos.

Esta equação já foi tratada em detalhes por colegas anteriores a mim[2], e a leitura do trabalho por eles desenvolvido é recomendada para maior entendimento da equação. O foco deste trabalho é explorar a solução numérica para a equação quando tratada em duas dimensões, onde a formação de padrões apresenta resultados mais interessantes. No entanto, a fim de facilitar a implementação e entendimento em duas dimensões, também será exibido uma implementação em uma dimensão.

Equação de Cahn-Hiliiard em Uma Dimensão

Como o primeiro passo do desenvolvimento da resolução em duas dimensões, um código foi feito para solucionar o problema em uma dimensão utilizando Transformadas de Fourier. Abaixo, temos a equação original:

$\frac{\partial c}{\partial t}=D{\mathrm{\nabla }}^2(c^3-c-\gamma {\mathrm{\nabla }}^{2}c)$

Em uma dimensão, os laplacianos podem ser substituídos pela derivada segunda em relação a $x$, resultando na seguinte equação:

$\frac{\partial c}{\partial t}=D(\frac{{\partial }^2(c^3-c)}{\partial x^2}-\gamma \frac{{\partial }^{4}c}{\partial x^4})$

Para solucioná-la numericamente, aplicaremos a Transformada de Fourier à frente em ambos os lados, da maneira descrita abaixo (seguindo a literatura de S. Bulent Biner [3] pág. 95, onde k é o respectivo coeficiente de Fourier):

$\frac{\partial \{c{\}}_k}{\partial t}=D\left(\right\{\frac{{\partial }^2{c}^3-c}{\partial x^2}{\}}_k-\gamma \left\{\frac{{\partial }^{4}c}{\partial x^4}{\}}_k\right)$

Em seguida, substituimos as derivadas espaciais pela sua equivalente no espaço de Fourier:

$\frac{{\partial }^n{c}_k}{\partial x^n}=(ik{)}^n\{c{\}}_k$

Assim, obtemos a seguinte equação:

$\frac{\partial \{c{\}}_k}{\partial t}=D(-k^2(\{c^3{\}}_k-\{c{\}}_k)-\gamma k^4\{c{\}}_k)$

O próximo passo é fazer a derivada à direita quanto ao tempo da seguinte maneira:

$\frac{\partial \{c{\}}_k}{\partial t}\to \frac{\{c{\}}_k^{n+1}-\{c{\}}_k^n}{\mathrm{\Delta }t}$

Substituindo na equação e reescrevendo-a a fim de isolar $\{c{\}}_k^{n+1}$, obtemos a equação final:

$\{c{\}}_k^{n+1}=\{c{\}}_k^n+D\mathrm{\Delta }t(-k^2(\{c^3{\}}_k^n-\{c{\}}_k^n)-\gamma k^4\{c{\}}_k^n)$

Referências

[1] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/FFT

[2] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Cahn-Hilliard

[3] S_Bulent_Biner_Programming_Phase_Field_Modeling_Springer_2017