Introdução
Descrição do Modelo
O modelo de Gray-Scott descreve uma reação autocatalítica. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis
e
, a reação pode ser representada como
Isso significa que uma molécula da substância
é transformada em uma molécula da substância
por meio da ação de outras duas moléculas da substância
, ou seja,
é um catalisador de sua própria produção (daí o termo autocatálise). Além dessa reação, ambas substâncias se difundem pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos reativos-difusivos) e, portanto, as concentrações
e
mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e.,
) não ocorre. Há reposição de
a uma taxa
(taxa de alimentação, feed rate) e remoção de
a uma taxa ligeiramente mais rápida do que a reposição de
.
O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações abaixo:
Análise de estabilidade
Nota: A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.
Soluções estacionárias sem difusão
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros
e dos coeficientes de difusão
das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em
para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor
nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (
), obtém-se o seguinte sistema de equações:
![{\displaystyle {\begin{aligned}-&uv^{2}+F(1-u)=0\\&uv^{2}-(F+k)v=0\quad (1)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb01054599c562bc26361cffa15dc085847cc623)
Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis
e
:
![{\displaystyle F(1-u)-(F+k)v=0\Rightarrow u=1-\gamma v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e84a3598f6173e5258260920d549acbca0610b)
onde definiu-se o parâmetro auxiliar
.
Substituindo
na segunda equação do sistema (1) (e reescrevendo
), ficamos com:
![{\displaystyle \left(1-\gamma v\right)v^{2}-\gamma Fv=0\Rightarrow -\gamma v^{3}+v^{2}-\gamma Fv=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b43014a275d7a46ccecde177526bb9d09f4ceb)
Evidentemente,
é solução dessa equação, implicando em
, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando
, podemos dividir a expressão acima por
, ficando com
. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para
:
![{\displaystyle v_{\pm }={\frac {1}{2\gamma }}(1\pm {\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06ac57f2e011f42220fa2aff4dcb770028e3f237)
Disso, pela relação
, temos que os valores correspondentes para
são:
![{\displaystyle u_{\mp }={\frac {1}{2}}(1\mp {\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f071866f2e40aed74a63563ce20347da9ec74226)
É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo (
). Por consequência:
, para que existam as soluções não-triviais.
Portanto, há três soluções estacionárias do sistema:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&u=1&v=0\\&u={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}})&v={\frac {1}{2\gamma }}(1-{\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}})\\&u={\frac {1}{2}}(1-{\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}})&v={\frac {1}{2\gamma }}(1+{\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d61d64f514d5ae3dc355ec1c2e02a42be1e4a0c1)
Logo, é trivial que o sistema acima é satisfeito quando
. Esse estado de equilíbrio é estável porque a matriz jacobiana
possui traço negativo e determinante positivo[1].
Se agora incluímos os termos de difusão
e
, deve-se levar em consideração a matriz
. Aqui,
é a matriz jacobiana dos termos de reação,
é a matriz diagonal dos termos de difusão e
é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência[1]. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em
:
Para que o estado de equilíbrio
seja estável é necessário que o determinante da matriz acima seja positivo e o traço seja negativo. Obtém-se então
Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores de
, e
. Portanto, o estado de equilíbrio
permanece estável no modelo de Gray-Scott mesmo após a inclusão dos coeficientes de difusão, sejam quais forem os valores desses coeficientes (lembrando que estamos nos restringindo a valores positivos dos parâmetros e coeficientes).
Esse é um resultado à primeira vista surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing)[2].
Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing, uma vez que o surgimento de padrões não triviais nesse modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial
está presente [3].
Estados de Equilíbrio Não Triviais
Há outros dois estados de equilíbrio que são soluções não triviais do sistema de equações (1). Desde que seja obedecida a condição
, esses estados são
e
, com[3]
Referências
- ↑ 1,0 1,1 H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.
- ↑ http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model
- ↑ 3,0 3,1 C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.