Método de Euler

De Física Computacional
Revisão de 16h42min de 26 de janeiro de 2022 por Jhordan (discussão | contribs)
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Euler explícito

A grande maioria das equações diferenciais de primeira ordem não podem ser resolvidas analiticamente. Para o comportamento a longo prazo de uma solução podemos tentar esboçar um campo de direções, mas se precisamos conhecer mais especificamente como uma solução se comporta, precisamos de outra ferramenta. Os métodos numéricos nos permitem obter soluções aproximadas para as equações diferenciais.

Começando com uma problema genérico de valor inicial:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dt}=f\left(t,y\right)\qquad y\left(t_{0}\right)=y_{0}}

Considerando que conhecemos a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f\left(t,y\right)} e os valores na condição inicial, assumimos que é tudo contínuo de forma que sabemos que uma solução de fato vai existir. Temos então para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle t=t_{0}} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=t_{0}}=f\left(t_{0},y_{0}\right)}

Dessa forma podemos escrever uma reta tangente à curva Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y\left(t\right)} no ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(t_{0},y_{0}\right)} usando a inclinação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f\left(t_{0},y_{0}\right)} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=y_{0}+f\left(t_{0},y_{0}\right)\left(t-t_{0}\right)}

Para visualizar melhor esta equação, podemos fazer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle t_{0}=0} , ficmos então com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y=y_{0}+f\left(t_{0},y_{0}\right)t} . Desta forma, fica ainda mais evidente que esta é uma equação de reta com inclinação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f\left(t_{0},y_{0}\right)} , e quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle t=t_{0}} temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y=y_{0}} , ou seja, uma reta que passa pelo ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(t_{0},y_{0}\right)} . Para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle t_{0}\neq0} temos apenas um deslocamento no eixo.

Então se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle t_{1}} é perto o suficiente de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle t_{0}} , a equação da reta vai estar perto do valor atual da solução em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle t_{1}} . Então podemos escrever:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_{1}=y_{0}+f\left(t_{0},y_{0}\right)\left(t_{1}-t_{0}\right)}

Podemos repetir o processo, usando agora Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y_{1}=y\left(t_{1}\right)} como valor inicial, então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_{2}=y_{1}+f\left(t_{1},y_{1}\right)\left(t_{2}-t_{1}\right)}

Ou de maneira genérica:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+f\left(t_{n},y_{n}\right)\left(t_{n+1}-t_{n}\right)}

Podemos ainda reescrever o passo como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle t_{n+1}-t_{n}=\Delta t} , de forma que ficamos com:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+f\left(t_{n},y_{n}\right)\Delta t}

Outra forma de visualizar o resultado, é considerar a reta:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=y_{n}+f\left(t_{n},y_{n}\right)\left(t-t_{n}\right)}

Como a solução aproximada para o intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left[t_{n},t_{n+1}\right]} . Então com um conjunto de retas podemos ter uma aproximação para a solução como um todo.

Exemplo

O primeiro exemplo de aplicação é o decaimento radiativo, cuja equação diferencial é: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dN}{dt}=-\lambda N}

Onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N} é a quantidade de partículas que sofrem o decaimento e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \lambda} a taxa no qual o decaimento ocorre.

  • Notem que a mesma equação pode descrever a diminuição de uma população estéril (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N} sendo a quantidade de indivíduos vivos e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \lambda} a taxa de mortalidade) ou a descarga de um circuito RC.
  • A aplicação do método a este exemplo de primeira ordem nos leva a seguinte relação de recorrência

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} N_{n+1} & =N_{n}+f\left(t_{n},N_{n}\right)\Delta t\\ N_{n+1} & =N_{n}-\lambda N_{n}\Delta t\\ N_{n+1} & =N_{n}\left(1-\lambda\Delta t\right)\end{align} }

Ou mais explicitamente:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} N\left(t_{n+1}\right) & =\left[1-\lambda\Delta t\right]N\left(t_{n}\right)\\ N\left(t_{n}+\Delta t\right) & =\left[1-\lambda\Delta t\right]N\left(t_{n}\right)\end{align}}

Implementando: 

import matplotlib.pyplot as plt   #Biblioteca para plotar gráficos
N =[10**6];Np=100;lam=0.1;dt=0.1  #Parâmetros

fac = 1-lam*dt                    #Função calculada
for i in range(Np):               #Vamo calcular Np passos
  N.append(fac*N[i])              #Salvamos o novo valor
  print(i*dt,N[i])                #printamos o resultado

plt.plot(N)                       #Construimos o gráfico
plt.show()                        #Plotamos

Euler implícito

A equação da reta obtida no euler explícito pode ser obtida a partir da definição da derivada:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dt}=f\left(t,y\right)\approx\frac{y\left(t+\Delta t\right)-y\left(t\right)}{\Delta t}\longrightarrow y\left(t+\Delta t\right)\approx y\left(t\right)+f\left(t,y\right)\Delta t}

Mas também podemos escrever a derivada como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dt}=f\left(t,y\right)\approx\frac{y\left(t\right)-y\left(t-\Delta t\right)}{\Delta t}\longrightarrow y\left(t\right)\approx y\left(t-\Delta t\right)+f\left(t,y\right)\Delta t}

Mantendo a notação:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+f\left(t_{n+1},y_{n+1}\right)\Delta t}

O termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f\left(t_{n+1},y_{n+1}\right)} não é conhecido, por isso temos uma equação implícita para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y_{n+1}} . Métodos implícitos podem ser usados quando temos restrições muito rigorosas no método explícito devido a condições de estabilidade.

Exemplo

Trabalhando novamente com o decaimento radioativo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dN}{dt}=-\lambda N}

Vamo ter então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} N_{n+1} & =N_{n}+f\left(t_{n+1},N_{n+1}\right)\Delta t\\ N_{n+1} & =N_{n}-\lambda N_{n+1}\Delta t\\ N_{n+1}\left(1+\lambda\Delta t\right) & =N_{n}\\ N_{n+1} & =\frac{N_{n}}{1+\lambda\Delta t}\end{align}}

Ou mais explicitamente:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} N\left(t_{n}+\Delta t\right) & =\frac{N\left(t\right)}{1+\lambda\Delta t}\end{align}}

Uma comparação entre os dois métodos de Euler para o caso do decaimento é simples. Lembando da fórmula recursiva de ambos os casos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N\left(t_{n}+\Delta t\right)=N\left(t\right)\left[1-\lambda\Delta t\right]\qquad e \qquad N\left(t_{n}+\Delta t\right)=N\left(t\right)\left[\frac{1}{1+\lambda\Delta t}\right]}

E fazendo uma expansão em série de Taylor em torno de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 0} , escrevendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x=\lambda\Delta t} , temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)\left(x-a\right)^{n}}{n!}=\left(1-x\right)+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)\left(x-a\right)^{n}}{n!}}

Então os termos são iguais até a primeira ordem, sendo assim uma boa aproximação.

Implementando o método de euler implícito, temos: 

import matplotlib.pyplot as plt  #Biblioteca para plotar gráficos
N =[10**6];Np=100;lam=0.1;dt=0.1 #Parâmetros

fac = 1+lam*dt                   #Função calculada
for i in range(Np):              #Vamo calcular Np passos
  N.append(N[i]/fac)             #Salvamos o novo valor
  print(i*dt,N[i])               #printamos o resultado

plt.plot(N)                      #Construimos o gráfico
plt.show()                       #Plotamos

Principais materiais utilizados

  1. Forward and Backward Euler Methods (Michael Zeltkevic, Instituto de Tecnologia de Massachusetts)
  2. Euler's Method (Paul Dawkins, Universidade Lamar)
  3. Método de Euler (REAMAT, UFRGS)
Disponível em “http://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php?title=Método_de_Euler&oldid=6700”