Modelo de Levins

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O Modelo de Levins é um modelo extremamente simples, para uma única população. Para compreender o modelo é necessário compreender o que é metapopulação.

Metapopulação é uma população em que os indivíduos estão espacialmente distribuídos no habitat em 2 ou mais subpopulações. Como motivação para a incorporação deste conceito, podemos citar que atividades humanas e desastres naturais muitas vezes causam a fragmentação de um grande habitat em fragmentos menores, levando a uma consequente divisão de uma população em subpopulações, ou seja, a se tornar uma metapopulação. Por este emotivo, a dinâmica de metapopulações é considerada uma importante ferramenta em biologia conversativa.

Na metapopulação, cada população em um fragmento é considerado uma subpopulação, e o deslocamento das subpopulações entre um fragmento ou outro, assim como uma possível troca de indivíduos entre uma subpopulação e outra é o que é chamado de dinâmica de metapopulações. O conceito de metapopulações foi introduzido em 1969 baseado em uma população no qual os indivíduos se reproduzem e morrem em um fragmento local do habitat, e sua prole se dispersa para outros fragmentos.

A aproximação mais popular no estudo da dinâmica de metapopulações é o modelo de Levins. O modelo de Levins tem como principal hipótese:

• Todas as populações locais tem um risco significativo de extinção: o equilíbrio estocástico ocorre no equilíbrio entre extinções locais e colonizações de fragmentos do habitat disponíveis.

É importante destacar que a distância entre os fragmentos e a configuração da espacial do habitat não está incluída no modelo de Levins, pois ele não é um modelo espacialmente explícito, porém são fatores que afetam a dinâmica de populações. O modelo por sua vez, assume:

• A metapopulação existe em um habitat homogêneo dividido em subpopulações;
• Os jovens dispersam aleatoriamente no habitat.

Então a variação da proporção de fragmentos ocupados por uma espécie no modelo de Levins é dado por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dp}{dt}=c\left(h-p\right)p-ep}

Onde :

• ${\textstyle h:}$ Fragmentos totais no habitat;
• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle p:} fragmentos ocupados pela espécie:
  • Então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(h-p\right)} é a quantidade de fragmentos disponíveis.
• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle c} : taxa de colonização;
• Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle e} : taxa de extinção.

Então o primeiro termo se relaciona ao aumento da população devido colonização e o segundo termo se refere ao decréscimo na população devido a extinção local. O primeiro ponto de equilíbrio que temos é obviamente a própria origem. Linearizando utilizando a derivada como visto [Linearização de sistemas de equações não lineares anteriormente]:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d\dot{p}}{dp}|_{p=0}=\left(ch-2pc-e\right)|_{p=0}=ch-e}

Então o sistema linearizado próximo a origem é simplesmente:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{p}=\left(ch-e\right)p}

Então lembrando de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{\boldsymbol{x}}=A\boldsymbol{x}} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} tem um único elemento que é o seu próprio o autovalor. Logo é um ponto de estabilidade se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ch<e} . O segundo ponto de equilíbrio é quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{0}=\frac{\left(ch-e\right)}{c}} . Linearizando o sistema na sua vizinhança:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{d\dot{p}}{dp}|_{p=p_{0}} = & ch-2\frac{c\left(ch-e\right)}{c}-e \\ = & ch-2ch+2e-e \\ =& e-ch \end{align} }

Então: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{p}=\left(e-ch\right)p } Ou seja, agora o ponto é estável se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ch>e} . Podemos sintetizar dizendo que se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ch<e} a espécie é extinta e se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ch>e} então a estabilidade é atingida com a sobrevivência da espécie. Como havíamos adiantado, o equilíbrio depende de uma relação entre a colonização e a exttinção.

Principais materiais utilizados

1. Metapopulation Dynamics - Levins Model (Universidade Amrita Vishwa Vidyapeetham)

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