Modelo de Gray-Scott

Descrição do Modelo

The reaction-diffusion system described here involves two generic chemical species U and V, whose concentration at a given point in space is referred to by variables u and v. As the term implies, they react with each other, and they diffuse through the medium. Therefore the concentration of U and V at any given location changes with time and can differ from that at other locations.

There are two reactions which occur at different rates throughout the space according to the relative concentrations at each point:

U + 2V → 3V

V → P

P is an inert product. It is assumed for simplicity that the reverse reactions do not occur (this is a useful simplification when a constant supply of reagents8 prevents the attainment of equilibrium). Because V appears on both sides of the first reaction, it acts as a catalyst for its own production.

The overall behavior of the system is described by the following formula, two equations which describe three sources of increase and decrease for each of the two chemicals:

${\frac {\partial {u}}{\partial {t}}}=a(u-h)+b(v-k)+D_{u}\nabla ^{2}u$

${\frac {\partial {v}}{\partial {t}}}=c(u-h)+d(v-k)+D_{v}\nabla ^{2}v$

Análise de estabilidade

Em geral, a análise de estabilidade linear de sistemas reativos-difusivos se constitui em duas etapas. Inicialmente se determinam os estados de equilíbrio homogêneo estáveis (igualando os coeficientes de difusão a zero). A seguir se analisa se a inclusão dos coeficientes de difusão gera instabilidade naqueles estados.

A difusão normalmente tende a homogeneizar o sistema. O surgimento de padrões complexos e não homogêneos ocorre nos casos de exceção a essa regra, quando a difusão torna os estados de equilíbrio instáveis.

Nota: A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

Estado de Equilíbrio Trivial

O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros $F,k$ e dos coeficientes de difusão $D_{u},D_{v}$. É fácil mostrar que, ignorando os termos de difusão, o sistema possui estado de equilíbrio estável em $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ para quaisquer valores dos parâmetros.

Demonstração. O sistema de equações do modelo, com ${\frac {\partial u}{\partial t}}=0$ e ${\frac {\partial v}{\partial t}}=0$, fazendo $D_{u}=D_{v}=0$, é dado por

$0=-uv^{2}+F(1-u)$

$0=uv^{2}-(F+k)v\quad (1)$

Logo, é trivial que o sistema acima é satisfeito quando $(u^{*},v^{*})=(1,0)$. Esse estado de equilíbrio é estável porque a matriz jacobiana $J|_{(u^{*},v^{*})=(1,0)}=\left({\begin{array}{cc}-F&0\\0&-F-k\end{array}}\right)$ possui traço negativo e determinante positivo.

Se agora incluímos os termos de difusão $D_{u}$ e $D_{v}$, deve-se levar em consideração a matriz $\left(J-D\omega ^{2}\right){\Bigg |}_{f=f_{eq}}$. Aqui, $J$ é a matriz jacobiana dos termos de reação, $D$ é a matriz diagonal dos termos de difusão e $\omega$ é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em $(u^{*},v^{*})=(1,0)$:

$\left(\left({\begin{array}{cc}-F-v^{2}&-2uv\\v^{2}&-F-k+2uv\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{cc}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{array}}\right)\omega ^{2}\right){\Bigg |}_{(u^{*},v^{*})=(1,0)}=\left({\begin{array}{cc}-F-D_{u}\omega ^{2}&0\\0&-F-k-D_{v}\omega ^{2}\end{array}}\right)$

Para que o estado de equilíbrio $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ seja estável é necessário que o determinante da matriz acima seja positivo e o seu traço seja negativo. Obtém-se então

$(F+D_{u}\omega ^{2})(F+k+D_{v}\omega ^{2})>0$

$-2F-(D_{u}+D_{v})\omega ^{2}-k<0$

Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores de $F,k,D_{u}$, e $D_{v}$. Portanto, o estado de equilíbrio $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ permanece estável no modelo de Gray-Scott mesmo após a inclusão dos coeficientes de difusão, sejam quais forem os valores desses coeficientes (lembrando que estamos nos restringindo a valores positivos dos parâmetros e coeficientes).

Estados de Equilíbrio Não Triviais

Como o modelo claramente exibe padrões complexos não homogêneos para diversos valores positivos de $F,k,D_{u}$, e $D_{v}$, devem então existir outros estados de equilíbrio. De fato, há outros dois estados de equilíbrio não triviais, soluções do sistema de equações (1).

Os outros estados de equilíbrio do modelo de Gray-Scott, com a restrição $F\geq 4(F+k)^{2}$, são $(u_{+},v_{-})$ e $(u_{-},v_{+})$, com

$u_{\pm }={\frac {1}{2}}(1\pm {\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}})$

$v_{\mp }={\frac {1}{2\gamma ^{2}}}(1\mp {\sqrt {1-4\gamma ^{2}F}})$

$\gamma ={\frac {F+k}{F}}$