Equação de Cahn-Hilliard

Grupo: Arthur Dornelles, Bruno Zanette, Gabriel De David, Guilherme Hoss

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard, que descreve o processo de decomposição spinodal de uma mistura binária, utilizando o método FTCS (Forward Time Centered Space).

Decomposição Espinodal

Decomposição espinodal é o nome dado ao processo no qual uma pequena perturbação de um sistema faz com que, uma fase homogênea termodinamicamente instável, diminua sua energia e separe-se espontaneamente em duas outras fases coexistentes, esse é um processo que ocorre sem nucleação, ou seja, é instantâneo. Ela é observada, por exemplo, em misturas de metais ou polímeros e pode ser modelada pela equação de Cahn-Hilliard.

A Equação de Cahn-Hilliard

A equação de Cahn-Hilliard descreve o processo de decomposição espinodal de uma mistura binária. Consideraremos - de início - uma mistura binária de dois componentes A e B descritas pelas densidades $c_{a}(x,t)$ e $c_{b}(x,t)$, respectivamente. Além disso, podemos considerar que - para uma mistura binária - $c_{a}(x,t)+c_{b}(x,t)=1$ e portanto podemos simplificar para apenas uma concentração $c(x,t)$:

$c_{a}(x,t)=c(x,t),c_{b}(x,t)=1-c(x,t)$

Tendo isso em vista, o fluxo correspondente pode ser determinado como:

$J=-M\nabla (\mu _{B}-\mu _{A})$

Onde $M$ é um coeficiente de mobilidade e $\mu _{a}$ e $\mu _{b}$ são os potenciais químicos dos respectivos componentes. Em seguida, ao utilizarmos termodinâmica clásisca, podemos expressar a diferença entre os potenciais $\mu _{b}-\mu _{a}$ em função da variação de um potencial de energia livre que chamaremos de $\Upsilon [c]$:

$\mu _{b}-\mu _{a}={\frac {\delta \Upsilon [c]}{\delta c}}$

Utilizando essa equação em conjunto com a equação do fluxo chegamos em:

$J=-M\nabla {\frac {\delta \Upsilon [c]}{\delta c}}$

E, para alcançarmos a equação de Cahn-Hilliard, podemos simplesmente assumir que o sistema conserva as massas, ou seja:

${\frac {\partial c(x,t)}{\partial t}}=-\nabla .J$

Substituindo J pelo fluxo que encontramos anteriormente temos:

${\frac {\partial c(x,t)}{\partial t}}=\nabla .M\nabla {\frac {\delta \Upsilon [c]}{\delta c}}$

A energia livre $\Upsilon [c]$ tipicamente escolhida para a equação é:

${\displaystyle }$

Método FTCS (Forward Time Centered Space)

O FTCS é um método numérico utilizado para resolver equações diferenciais parciais, tais como a difusão do calor e do transporte de massa, traduzindo, significa "Progressivo no tempo, avançado no espaço". Esse método pode ser utilizado em sua forma implícita ou explícita que estão descritas abaixo.

$n\to \Delta t$

$j\to \Delta x$

FTCS Explicito

${\frac {\partial f}{\partial t}}\to {\frac {f_{j}^{n+1}-f_{j}^{n}}{\Delta t}}$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\to {\frac {f_{j-1}^{n}-2f_{j}^{n}+f_{j+1}^{n}}{\Delta x^{2}}}$

Para difusão:

$f_{j}^{n+1}=f_{j}^{n}+{\frac {D\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}(f_{j-1}^{n}-2f_{j}^{n}+f_{j+1}^{n})$

FTCS Implicito (BTCS)

${\frac {\partial f}{\partial t}}\to {\frac {f_{j}^{n}-f_{j}^{n-1}}{\Delta t}}$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\to {\frac {f_{j-1}^{n}-2f_{j}^{n}+f_{j+1}^{n}}{\Delta x^{2}}}$

Para difusão:

$f_{j}^{n+1}=f_{j}^{n}+{\frac {D\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}(f_{j-1}^{n+1}-2f_{j}^{n+1}+f_{j+1}^{n+1})$