Pêndulos Estocásticos

Grupo : Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

Pêndulo Simples

Equação de movimento

Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento $l$, sem massa e rígida que contém uma massa $m$ pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

Esquema de um pêndulos simples em um campo gravitacional constante.

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é $-2b\overrightarrow{v}$, a equação de movimento é dada por:

$\ddot{\theta }(t)=-\frac{2b}{m}\dot{\theta }-\frac{g}{l}sen(\theta )$

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em $m$ ($F_r(t)$), que pode ser modelada por um ruído branco gaussiano $\xi (t)$ da seguinte forma

$F_r(t)=m\alpha \xi (t)$

em que $\alpha$ é a intensidade do ruído. $\xi (t)$ é caracterizado pelas seguintes propriedades:

$⟨\xi (t)⟩=0,⟨\xi (t_2)\xi (t_1)⟩=\delta (t_2-t_1)$

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

$\ddot{\theta }(t)=-\frac{2b}{m}\dot{\theta }-\frac{g}{l}sen(\theta )+\frac{\alpha }{l}\xi (t)$

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que $g=l=1$, então

$\ddot{\theta }(t)=-2b\dot{\theta }-sen(\theta )+\alpha \xi (t)$

Método de integração

Vamos montar um métodos para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável $\omega :=\dot{\theta }$, então ficamos com o seguinte sistema

$\begin{array}{rl}\dot{\theta }& =\omega \\ \dot{\omega }& =-2b\dot{\theta }-sen(\theta )+\alpha \xi (t)\end{array}$

que pode ser escrito na forma diferencial

$\begin{array}{rl}d\theta & =\omega dt\\ d\omega & =(-2b\dot{\theta }-sen(\theta ))dt+\alpha \xi (t)dt\end{array}$