Equação de Schrödinger Unidimensional

Conhecer o estado de uma partícula, na Mecânica Clássica, é saber, em um determinado momento, sua velocidade e sua posição. A partir destes valores, é possível determinar os seus futuros estados utilizando as relações fornecidas pelas Leis de Newton. Na Mecânica Quântica, porém, o estado físico não é mais caracterizado por uma quantidade discreta de valores numéricos, e sim, por uma função. A chamada Função de Onda, $\Psi$, nos informa a evolução temporal do estado quântico de uma partícula, seguindo a Equação de Schrödinger. Em uma dimensão, a Equação de Schrödinger é dada por:

$-{\frac {\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+V(x)\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}$

A fim de resolvê-la numericamente para diferentes tipos de potenciais, usou-se o Método de Crank-Nicolson de resolução de EDPs. Este método baseia-se em combinar os métodos explícito e implícito (com igual contribuição) para aumentar sua estabilidade.

O método explícito FTCS (Forward Time Central Space) consiste em tomar derivadas temporais "para frente" e manter a derivada espacial centrada.

${\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}={\frac {\Psi (x,t+\Delta t)-\Psi (x,t)}{\Delta t}}$

${\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial x}}={\frac {\Psi (x+\Delta x,t)-\Psi (x,t)}{\Delta x}}$; ${\frac {\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {(\Psi (x+\Delta x,t)-\Psi (x+\Delta x-\Delta x,t))-(\Psi (x,t)-\Psi (x-\Delta x,t))}{\Delta x\Delta x}}={\frac {\Psi (x+\Delta x,t)+\Psi (x-\Delta x,t)-2\Psi (x,t)}{\Delta x^{2}}}$

Tomando $\hbar =m=1$ (unidades atômicas), ao inserirmos as expressões acima na Equação de Schrödinger, temos que:

${\frac {i}{2}}{\frac {\Psi (x+\Delta x,t)+\Psi (x-\Delta x,t)-2\Psi (x,t)}{\Delta x^{2}}}-iV(x)\Psi (x,t)={\frac {\Psi (x,t+\Delta t)-\Psi (x,t)}{\Delta t}}$

Simplificando a notação para $\Psi (x,t)=\Psi _{j}^{n}$, onde $j$ representa a posição e $n$ o tempo, e reorganizando os termos, ficamos com:

$\Psi _{j}^{n+1}=\Psi _{j}^{n}+{\frac {i\Delta t}{2\Delta x^{2}}}(\Psi _{j+1}^{n}+\Psi _{j-1}^{n}-2\Psi _{j}^{n})-i\Delta tV_{j}\Psi _{j}^{n}$

O método implícito é semelhante, porém a derivada temporal é "para trás".

${\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}={\frac {\Psi (x,t)-\Psi (x,t-\Delta t)}{\Delta t}}$

O que nos leva a ter:

$\Psi _{j}^{n}=\Psi _{j}^{n-1}+{\frac {i\Delta t}{2\Delta x^{2}}}(\Psi _{j+1}^{n}+\Psi _{j-1}^{n}-2\Psi _{j}^{n})-i\Delta tV_{j}\Psi _{j}^{n}$

que, com uma substituição de variável (que é muda), nos dá, enfim:

$\Psi _{j}^{n+1}=\Psi _{j}^{n}+{\frac {i\Delta t}{2\Delta x^{2}}}(\Psi _{j+1}^{n+1}+\Psi _{j-1}^{n+1}-2\Psi _{j}^{n+1})-i\Delta tV_{j}\Psi _{j}^{n+1}$

Como dito, o Método de Crank-Nicolson é uma combinação dos métodos implícito e explícito, cada um tendo o mesmo peso de 1/2. Ao somarmos as duas equações (cada uma multiplicada por 0.5), ficaremos com a seguinte expressão:

$\Psi _{j}^{n+1}=\Psi _{j}^{n}+{\frac {i\Delta t}{4\Delta x^{2}}}(\Psi _{j+1}^{n}+\Psi _{j-1}^{n}-2\Psi _{j}^{n}+\Psi _{j+1}^{n+1}+\Psi _{j-1}^{n+1}-2\Psi _{j}^{n+1})-{\frac {i\Delta t}{2}}V_{j}(\Psi _{j}^{n}+\Psi _{j}^{n+1})$

que, ao reorganizarmos para isolar os $\Psi _{j}^{n+1}$, resulta em:

$\left(1+{\frac {i\Delta t}{2\Delta x^{2}}}+{\frac {i\Delta t}{2}}V_{j}\right)\Psi _{j}^{n+1}-{\frac {i\Delta t}{4\Delta x^{2}}}\Psi _{j+1}^{n+1}-{\frac {i\Delta t}{4\Delta x^{2}}}\Psi _{j-1}^{n+1}=\left(1-{\frac {i\Delta t}{2\Delta x^{2}}}-{\frac {i\Delta t}{2}}V_{j}\right)\Psi _{j}^{n}+{\frac {i\Delta t}{4\Delta x^{2}}}\Psi _{j+1}^{n}+{\frac {i\Delta t}{4\Delta x^{2}}}\Psi _{j-1}^{n}$

Para resolver a equação em simultaneamente para ambos os tempos e em todos os pontos, escrevemos a equação em forma matricial:

Falhou ao verificar gramática (função desconhecida '\hspace'): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 + 2b + \frac{i\Delta t V_j}{2} & -b & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ -b & 1 + 2b + \frac{i\Delta t V_j}{2} & -b &0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots& \vdots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -b & 1 + 2b + \frac{i\Delta t V_j}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Psi_1^{n+1} \\ \Psi_2^{n+1} \\ \vdots \\ \Psi_{j}^{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Psi_1^{n} \\ \Psi_2^{n} \\ \vdots \\ \Psi_{j}^{n} \end{pmatrix} \hspace{5pt}; b=\frac{i \Delta t}{4 \Delta x^2} }