Modelos Logísticos

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Modelo logístico simples

A equação logística pode ser escrita da seguinte forma:

$${\frac {dN}{dt}}=rN\left[1-{\frac {N}{K}}\right]$$

Onde ${\textstyle r}$ e ${\textstyle K}$ são as constantes de crescimento e de suporte respectivamente, ${\textstyle N}$ é a densidade populacional que tem como variável independente ${\textstyle t}$. Há dois estados de equilíbrio: ${\textstyle N_{1}=0}$ e ${\textstyle ,N_{2}=K}$. Linearizando o sistema próximo do primeiro ponto de equilíbrio conforme pode ser visto em Linearização de sistemas de equações não lineares, calculando o único termo da matriz jacobiana:

$${\frac {d{\dot {N}}}{dN}}|_{N=0}=r$$

Logo o sistema linearizado próximo ao ponto de equilíbrio é:

$${\begin{aligned}{\dot {N}}&=\left({\frac {d{\dot {N}}}{dN}}|_{N=0}\right)\left(N\right)\\&=rN\end{aligned}}$$

Temos simplesmente que se ${\textstyle r>0}$, então é um ponto de equilíbrio instável. Realizando o mesmo procedimento para analisar na vizinhança do segundo ponto:

$${\begin{aligned}{\dot {N}}&=\left({\frac {d{\dot {N}}}{dN}}|_{N=K}\right)\left(N\right)\\&=-rN\end{aligned}}$$

Então se ${\textstyle r>0}$, este ponto é estável. Como usa-se uma constante de crescimento $r>0$, o sistema evolui até atingir o ponto de equilíbrio de saturação $N=K$. A solução pode ser obtida através do uso do Mathematica:

parametros = Rationalize[{r -> 1, k -> 1}];
sol = NDSolve[{n'[t] == r*n[t]*(1 - n[t]/k) /. parametros,
      n[0] == 0.5}, n, {t, 0, tmax}];
Plot[n[t] /. sol, {t, 0, tmax}]

Modelo logístico atrasado

A equação logística assume que a taxa de variação da população dos organismos depende instantaneamente das variações no tamanho da população, porém em muitos casos, pode haver um atraso. Por exemplo, populações que armazenam nutrientes, podem não sofrer imediatamente os efeitos, mesmo se a população se tornar muito grande para a quantidade de recursos disponíveis. Por isso a equação logística pode incorporar um atraso na sua taxa de variação da seguinte maneira:

$${\frac {dN\left(t\right)}{dt}}=rN\left(t\right)\left(1-{\frac {N\left(t-\tau \right)}{K}}\right)$$

Onde ${\textstyle \tau }$ é o Atraso. Para facilitar, denotando então ${\textstyle N=N\left(t\right)}$ e ${\textstyle N_{\tau }=N\left(1-\tau \right)}$:

$${\dot {N}}=rN\left(1-{\frac {N_{\tau }}{K}}\right)$$

Observação: As constantes poderiam ser simplificadas realizando a substituição ${\textstyle y\left(t\right)={\frac {N\left(t\right)}{K}}}$ , de forma que restaria apenas a constante ${\textstyle \alpha \equiv r\tau }$. Vale a pena ressaltar que esta equação exige que para as condições iniciais seja especificado o valor de ${\textstyle N}$ sobre todo o intervalo ${\textstyle \left[0,\tau \right]}$. Frequentemente isso é feito considerando que ${\textstyle N}$ é constante no intervalo, ${\textstyle N=N_{0}}$ para todo ${\textstyle t\in \left[0,\tau \right]}$. Para encontrar o equilíbrio analiticamente, tem-se então ${\textstyle N=N_{\tau }}$, uma vez que no equilíbrio ${\textstyle N}$ não deve variar no tempo, dessa maneira o valor para ${\textstyle N}$ deve ser o mesmo, com ou sem atraso. Então:

$$0=rN\left(1-{\frac {N}{K}}\right)$$

Os mesmos pontos de equilíbrio discutidos anteriormente são recuperados: ${\textstyle N_{1}=0}$ e ${\textstyle N_{2}=K}$. Plotando para ${\textstyle k=\tau =1}$, e ${\textstyle r=1.5}$ e ${\textstyle r=1.6}$ tem-se:

Soluções numéricas do sistema. Na esquerda superior a solução para a equação logística simples com $K=1$ e $r>0$, na direita superior a solução para a equação logística com atraso para $K=\tau =1$ e $r=1.5$. E embaixo também a equação logística com atraso porém para $r=1.6$.

Verifica-se a existência de uma bifurcação de Hopf entre ${\textstyle r=1.5}$ e ${\textstyle r=1.6}$, isto é, um ponto crítico no qual a estabilidade do sistema sofre uma mudança e uma solução periódica surge. Então um modelo de população com uma única espécie ainda pode ter um comportamento oscilatório. Para analisar o ponto de equilíbrio ${\textstyle N=K}$, pode-se introduzir uma pequena perturbação ${\textstyle u}$ e verificar se o ponto no espaço de fase retorna ao ponto de equilíbrio. Então sendo ${\textstyle N\left(t\right)=K+u\left(t\right)}$:

$${\begin{aligned}{\dot {N}}&=rN\left(1-{\frac {N_{\tau }}{K}}\right)\\{\dot {u}}&=r\left(K+u\right)\left(1-{\frac {\left(K+u_{\tau }\right)}{K}}\right)\\&=-r\left(K+u\right){\frac {u_{\tau }}{K}}\end{aligned}}$$

Para pequenas perturbações ${\textstyle K+u\approx K}$, então:

$${\frac {du}{dt}}=-ru_{\tau }$$

Sendo ${\textstyle \alpha =-r}$, é exatamente a questão discutida anteriormente (Análise de estabilidade de equações diferenciais lineares atrasadas), quando $\tau =1$. Então há um ponto de equilíbrio estável em ${\textstyle u=0}$ se ${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}<\alpha <0}$. Ou seja, ${\textstyle N=K}$ é um ponto de equilíbrio estável para ${\textstyle 0>r>{\frac {\pi }{2}}}$. O que significa que em ${\textstyle r={\frac {\pi }{2}}}$ o sistema perde a estabilidade, é o ponto no qual um autovalor complexo passa a ter sua parte real positiva. A bifurcação de Hopf está em ${\textstyle r={\frac {\pi }{2}}}$, exatamente neste ponto não há partes reais dos autovalores, apenas a parte imaginária do autovalor complexo e o sistema oscila em torno do ponto de equilíbrio. Para ${\textstyle r>{\frac {\pi }{2}}}$ o sistema tem uma solução estável periódica, uma vez que ainda que o sistema se afaste do ponto de equilíbrio, eventualmente ele volta a se aproximar, permanecendo assim em um comportamento periódico. A discussão foi feita com $\tau =1$, mas mas pode ser facilmente replicada para outro valores de interesse.

A solução numérica também pode ser obtida computacionalmente via Mathematica:

parametros = Rationalize[{r -> 1, k -> 1, tau -> 1}]; 
sol = NDSolve[{n'[t] == r*n[t]*(1 - n[t - tau]/k), 
      n[t /; t <= tau] == 0.5} /. parametros, n, {t, 0, 20}]; 
Plot[n[t] /. sol, {t, 0, 20}, PlotRange -> Full]

Principais materiais utilizados

1. Delay-Differential Equations (Richard Bertram, Universidade Estadual da Flórida)

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