Cálculo do tempo de colisão com aceleração

Tendo em mãos a condição para que ocorra uma colisão: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\vec{r}_{i}(t+dt) - \vec{r}_{j}(t+dt)| = \sigma} , e que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}_{i}(t+dt) = \vec{r}_{i} + \vec{v}_{i}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}_{j}(t+dt) = \vec{r}_{j} + \vec{v}_{j}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2}} , podemos elevar os dois lados da equação da condição ao quadrado, retirar o módulo uma vez que o resultado será sempre positivo, obtendo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\vec{r}_{i}(t+dt) - \vec{r}_{j}(t+dt))^2 = \sigma^2}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}_{i}^2 + \vec{v}_{i}^2dt^2 + \vec{g}^2\frac{dt^4}{4} + 2\vec{r}_{i}\vec{v}_{i}dt + 2\vec{r}_{i}\vec{g}\frac{dt^2}{2} + 2\vec{v}_{i}\frac{dt^3}{2} -2(\vec{r}_{i} + \vec{v}_{i}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2})(\vec{r}_{j} + \vec{v}_{j}dt + \vec{g}\frac{dt^2}{2}) + \vec{r}_{j}^2 + \vec{v}_{j}^2dt^2 + \vec{g}^2\frac{dt^4}{4} + 2\vec{r}_{j}\vec{v}_{j}dt + 2\vec{r}_{j}\vec{g}\frac{dt^2}{2} + 2\vec{v}_{j}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}_{i}^2 + \vec{v}_{i}^2dt^2 + \vec{g}^2\frac{dt^4}{2} + 2\vec{r}_{i}\vec{v}_{i}dt + 2\vec{r}_{i}\vec{g}\frac{dt^2}{2} + 2\vec{v}_{i}\frac{dt^3}{2} -2\vec{r}_{i}\vec{r}_{j} -2\vec{r}_{i}\vec{v}_{j}dt -2\vec{r}_{i}\vec{g}\frac{dt^2}{2} -2\vec{r}_{j}\vec{v}_{i}dt -2\vec{v}_{i}\vec{v}_{j}dt^2 -2\vec{v}_{i}\vec{g}\frac{dt^3}{2} -2\vec{r}_{j}\vec{g}\frac{dt^2}{2} -2\vec{v}_{j}\vec{g}\frac{dt^3}{2} -\vec{g}^2\frac{dt^4}{2} + \vec{r}_{j}^2 + \vec{v}_{j}^2dt^2 + 2\vec{r}_{j}\vec{v}_{j}dt + 2\vec{r}_{j}\vec{g}\frac{dt^2}{2} + 2\vec{v}_{j}\vec{g}\frac{dt^3}{2}= \sigma^2}

Reajeitando os termos antes da simplificação final:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{r}_{i}^2 -2\vec{r}_{i}\vec{r}_{j} + \vec{r}_{j}^2 + \vec{v}_{i}^2dt^2 -2\vec{v}_{i}\vec{v}_{j}dt^2 + \vec{v}_{j}^2dt^2 + \vec{g}^2\frac{dt^4}{2} -\vec{g}^2\frac{dt^4}{2} + 2\vec{r}_{i}\vec{g}\frac{dt^2}{2} -2\vec{r}_{i}\vec{g}\frac{dt^2}{2} + 2\vec{v}_{i}\frac{dt^3}{2} -2\vec{v}_{i}\vec{g}\frac{dt^3}{2} -2\vec{r}_{j}\vec{g}\frac{dt^2}{2} + 2\vec{r}_{j}\vec{g}\frac{dt^2}{2} -2\vec{v}_{j}\vec{g}\frac{dt^3}{2} + 2\vec{v}_{j}\vec{g}\frac{dt^3}{2} + 2\vec{r}_{i}(\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})dt -2\vec{r}_{j}(\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})dt = \sigma^2}

Ao simplificar obtemos a mesma equação quadrática para se calcular o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dt_{min}} , onde ficou definido Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta \vec{r} = \vec{r}_{i} - \vec{r}_{j}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta \vec{v} = \vec{v}_{i} - \vec{v}_{j}} na seção anterior:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\vec{r}_{i} - \vec{r}_{j})^2 + (\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})^2dt^2 + 2(\vec{r}_{i} - \vec{r}_{j})(\vec{v}_{i} - \vec{v}_{j})dt -\sigma^2 = 0}