Equação de Cahn-Hilliard

Grupo: Arthur Dornelles, Bruno Zanette, Gabriel De David, Guilherme Hoss

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard, que descreve o processo de decomposição spinodal de uma mistura binária, utilizando o método FTCS (Forward Time Centered Space).

Decomposição Espinodal

Decomposição espinodal é o nome dado ao processo no qual uma pequena perturbação de um sistema faz com que, uma fase homogênea termodinamicamente instável, diminua sua energia e separe-se espontaneamente em duas outras fases coexistentes, esse é um processo que ocorre sem nucleação, ou seja, é instantâneo. Ela é observada, por exemplo, em misturas de metais ou polímeros e pode ser modelada pela equação de Cahn-Hilliard.

A Equação de Cahn-Hilliard

A equação de Cahn-Hilliard descreve o processo de decomposição espinodal de uma mistura binária. Em outras palavras, é uma equação que descreve o processo de separação de fase entre dois componentes de um fluido binário que se separam de maneira espontânea.

Consideraremos - de início - uma mistura binária de dois componentes A e B descritas pelas concentrações dos fluidos $c_{a}(x,t)$ e $c_{b}(x,t)$, respectivamente.

Além disso, podemos considerar que - para uma mistura binária - $c_{a}(x,t)+c_{b}(x,t)=1$ e portanto podemos simplificar para apenas uma concentração $c(x,t)$:

$c_{a}(x,t)=c(x,t),c_{b}(x,t)=1-c(x,t)$

Tendo isso em vista, podemos agora utilizar a primeira lei de Fick da difusão:

$J=-D\nabla c$

para encontrarmos:

$J=-D\nabla (\mu _{B}-\mu _{A})$

Onde $D$ é um coeficiente de mobilidade ($comprimento^{2}/tempo)$ e $\mu _{a}$ e $\mu _{b}$ são os potenciais químicos dos respectivos componentes. Em seguida, ao utilizarmos termodinâmica clásisca, podemos expressar a diferença entre os potenciais $\mu _{b}-\mu _{a}$ em função da variação de um potencial de energia livre de Gibbs que chamaremos de $\Upsilon (c)$:

$\mu _{b}-\mu _{a}={\frac {\delta \Upsilon (c)}{\delta c}}$

Utilizando essa equação em conjunto com a equação do fluxo chegamos em:

$J=-D\nabla {\frac {\delta \Upsilon (c)}{\delta c}}$

E, para alcançarmos a equação de Cahn-Hilliard, podemos simplesmente assumir que o sistema conserva as massas, ou seja:

${\frac {\partial c(x,t)}{\partial t}}=-\nabla \cdot J$

Substituindo J pelo fluxo que encontramos anteriormente temos:

${\frac {\partial c(x,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}{\frac {\delta \Upsilon (c)}{\delta c}}$

A energia livre de Gibbs $\Upsilon [c]$ tipicamente escolhida para a equação é:

$\Upsilon (c)=\int _{V}^{}f(c)+\kappa |\nabla c|^{2}dV,$

Nessa equação, $f(c)$ é chamada de densidade de energia livre devido à contribuições de ambas fases homogêneas; $\kappa |\nabla c|^{2}$ é a densidade de energia livre devido ao gradiente de concentração na interface (ou energia da interface).

A função $f(c)$ tem o formato de um poço de potencial duplo, que pode ser representado pela seguinte equação:

$f(c)={\frac {(c^{2}-1)^{2}}{4}}$

Método FTCS (Forward Time Centered Space)

O FTCS é um método numérico utilizado para resolver equações diferenciais parciais, tais como a difusão do calor e do transporte de massa, traduzindo, significa "Progressivo no tempo, avançado no espaço". Esse método pode ser utilizado em sua forma implícita ou explícita que estão descritas abaixo.

$n\to \Delta t$

$j\to \Delta x$

FTCS Explicito

${\frac {\partial f}{\partial t}}\to {\frac {f_{j}^{n+1}-f_{j}^{n}}{\Delta t}}$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\to {\frac {f_{j-1}^{n}-2f_{j}^{n}+f_{j+1}^{n}}{\Delta x^{2}}}$

Para difusão:

$f_{j}^{n+1}=f_{j}^{n}+{\frac {D\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}(f_{j-1}^{n}-2f_{j}^{n}+f_{j+1}^{n})$

FTCS Implicito (BTCS)

${\frac {\partial f}{\partial t}}\to {\frac {f_{j}^{n}-f_{j}^{n-1}}{\Delta t}}$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\to {\frac {f_{j-1}^{n}-2f_{j}^{n}+f_{j+1}^{n}}{\Delta x^{2}}}$

Para difusão:

$f_{j}^{n+1}=f_{j}^{n}+{\frac {D\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}(f_{j-1}^{n+1}-2f_{j}^{n+1}+f_{j+1}^{n+1})$

Resolução do Cahn-Hilliard Equation para FTCS explicito para x somente:

$\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}(c^{3}-c-\gamma ^{2}\nabla ^{2}c)$

$\displaystyle {\frac {c_{j}^{n+1}-c_{j}^{n}}{\Delta t}}=D\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(c^{3}-c-\gamma ^{2}\displaystyle {\frac {\partial ^{2}c}{\partial x^{2}}})$

$\displaystyle {\frac {c_{j}^{n+1}-c_{j}^{n}}{\Delta t}}=D{\frac {u_{j-1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j+1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}$

$\displaystyle {\frac {c_{j}^{n+1}-c_{j}^{n}}{\Delta t}}=D\left({\frac {(c_{j-1}^{n})^{3}-2(c_{j}^{n})^{3}+(c_{j+1}^{n})^{3}}{(\Delta x)^{2}}}-{\frac {c_{j-1}^{n}-2c_{i}^{n}+c_{j+1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}-\gamma ^{2}{\frac {c_{j-2}^{n}-4c_{j-1}^{n}+6c_{j}^{n}-4c_{j+1}^{n}+c_{j+2}^{n}}{(\Delta x)^{4}}}\right)$

$c_{j}^{n+1}=D\Delta t\left({\frac {(c_{j-1}^{n})^{3}-2(c_{i}^{n})^{3}+(c_{j+1}^{n})^{3}}{(\Delta x)^{2}}}-{\frac {c_{j-1}^{n}-2c_{j}^{n}+c_{j+1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}-\gamma ^{2}{\frac {c_{j-2}^{n}-4c_{j-1}^{n}+6c_{j}^{n}-4c_{j+1}^{n}+c_{j+2}^{n}}{(\Delta x)^{4}}}\right)+c_{j}^{n}$

$c_{j}^{n+1}={\frac {D\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}\left((c_{j-1}^{n})^{3}-2(c_{i}^{n})^{3}+(c_{j+1}^{n})^{3}-{c_{j-1}^{n}+2c_{j}^{n}-c_{j+1}^{n}}-\gamma ^{2}{\frac {c_{j-2}^{n}-4c_{j-1}^{n}+6c_{j}^{n}-4c_{j+1}^{n}+c_{j+2}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}\right)+c_{j}^{n}$