|
|
Linha 45: |
Linha 45: |
| A energia livre de Gibbs <math>\Upsilon [c]</math> tipicamente escolhida para a equação é: | | A energia livre de Gibbs <math>\Upsilon [c]</math> tipicamente escolhida para a equação é: |
| :<math> | | :<math> |
| \[ \int_{V}^{a} f(c) + \kappa {|\nabla c|}^2 \,dV \] | | \[ \int_{V}^{a} f(c) + \kappa |\nabla c|^2 \,dV \] |
| </math> | | </math> |
|
| |
|
Edição das 17h43min de 29 de março de 2021
Grupo: Arthur Dornelles, Bruno Zanette, Gabriel De David, Guilherme Hoss
O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard, que descreve o processo de decomposição spinodal de uma mistura binária, utilizando o método FTCS (Forward Time Centered Space).
Decomposição Espinodal
Decomposição espinodal é o nome dado ao processo no qual uma pequena perturbação de um sistema faz com que, uma fase homogênea termodinamicamente instável, diminua sua energia e separe-se espontaneamente em duas outras fases coexistentes, esse é um processo que ocorre sem nucleação, ou seja, é instantâneo. Ela é observada, por exemplo, em misturas de metais ou polímeros e pode ser modelada pela equação de Cahn-Hilliard.
A Equação de Cahn-Hilliard
A equação de Cahn-Hilliard descreve o processo de decomposição espinodal de uma mistura binária.
Em outras palavras, é uma equação que descreve o processo de separação de fase entre dois componentes de um fluido binário que se separam de maneira espontânea.
Consideraremos - de início - uma mistura binária de dois componentes A e B descritas pelas concentrações dos fluidos
e
, respectivamente.
Além disso, podemos considerar que - para uma mistura binária -
e portanto podemos simplificar para apenas uma concentração
:
![{\displaystyle c_{a}(x,t)=c(x,t),c_{b}(x,t)=1-c(x,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a50c3ba37c95a22c85435ac96db12965cb7021bd)
Tendo isso em vista, podemos agora utilizar a primeira lei de Fick da difusão:
![{\displaystyle J=-D\nabla c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04f53470dc4e5ea6c44e1518db9f93e4153db4f)
para encotrarmos:
![{\displaystyle J=-D\nabla (\mu _{B}-\mu _{A})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d01bb7024a1955bde9b07cf7002325be1fcacf20)
Onde
é um coeficiente de mobilidade (
e
e
são os potenciais químicos dos respectivos componentes.
Em seguida, ao utilizarmos termodinâmica clásisca, podemos expressar a diferença entre os potenciais
em função da variação de um potencial de energia livre que chamaremos de
:
![{\displaystyle \mu _{b}-\mu _{a}={\frac {\delta \Upsilon [c]}{\delta c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b198d8bf62c64bf1cf6d6e6893e9acd8969c29c9)
Utilizando essa equação em conjunto com a equação do fluxo chegamos em:
![{\displaystyle J=-D\nabla {\frac {\delta \Upsilon [c]}{\delta c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b72862d48eee080377cd20d5f2254563284eb50)
E, para alcançarmos a equação de Cahn-Hilliard, podemos simplesmente assumir que o sistema conserva as massas, ou seja:
![{\displaystyle {\frac {\partial c(x,t)}{\partial t}}=-\nabla \cdot J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3030772306996a8712ef850298fd9eb45422524c)
Substituindo J pelo fluxo que encontramos anteriormente temos:
![{\displaystyle {\frac {\partial c(x,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}{\frac {\delta \Upsilon [c]}{\delta c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1fb26cf9b06da136669428ab2a9a65fd3e127f2)
A energia livre de Gibbs
tipicamente escolhida para a equação é:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \[ \int_{V}^{a} f(c) + \kappa |\nabla c|^2 \,dV \] }
Método FTCS (Forward Time Centered Space)
O FTCS é um método numérico utilizado para resolver equações diferenciais parciais, tais como a difusão do calor e do transporte de massa, traduzindo, significa "Progressivo no tempo, avançado no espaço". Esse método pode ser utilizado em sua forma implícita ou explícita que estão descritas abaixo.
![{\displaystyle n\to \Delta t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/137117b30ba27e25dc88e364863ae89860960f8c)
![{\displaystyle j\to \Delta x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f49d936e2499a46661ba53676c26dfda203e75a6)
FTCS Explicito
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}\to {\frac {f_{j}^{n+1}-f_{j}^{n}}{\Delta t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/980de14257bc6f14716aea097ea0fc81b8c3cdb6)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\to {\frac {f_{j-1}^{n}-2f_{j}^{n}+f_{j+1}^{n}}{\Delta x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c9e5ec39f9b9ec94cdff887723311796f982a6)
Para difusão:
![{\displaystyle f_{j}^{n+1}=f_{j}^{n}+{\frac {D\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}(f_{j-1}^{n}-2f_{j}^{n}+f_{j+1}^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af83533316feba07cb2857581d588077ed8b9c8)
FTCS Implicito (BTCS)
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}\to {\frac {f_{j}^{n}-f_{j}^{n-1}}{\Delta t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f904a89ce606189e7787d16130405a706e5fe0)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\to {\frac {f_{j-1}^{n}-2f_{j}^{n}+f_{j+1}^{n}}{\Delta x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c9e5ec39f9b9ec94cdff887723311796f982a6)
Para difusão:
![{\displaystyle f_{j}^{n+1}=f_{j}^{n}+{\frac {D\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}(f_{j-1}^{n+1}-2f_{j}^{n+1}+f_{j+1}^{n+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb1f84c54eac711f3126e49be15704d70636de00)
Resolução do Cahn-Hilliard Equation para FTCS explicito para x somente:
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}(c^{3}-c-\gamma ^{2}\nabla ^{2}c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11e5a5eee449504f73f6d63cb116544b49f6637)
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {c_{j}^{n+1}-c_{j}^{n}}{\Delta t}}=D\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(c^{3}-c-\gamma ^{2}\displaystyle {\frac {\partial ^{2}c}{\partial x^{2}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da83317f31489cc0fa21aa43b3f5fdac9ffe2bf)
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {c_{j}^{n+1}-c_{j}^{n}}{\Delta t}}=D{\frac {u_{j-1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j+1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89bc16365acda91e1bbe96e36e58b014937e5e92)
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {c_{j}^{n+1}-c_{j}^{n}}{\Delta t}}=D\left({\frac {(c_{j-1}^{n})^{3}-2(c_{j}^{n})^{3}+(c_{j+1}^{n})^{3}}{(\Delta x)^{2}}}-{\frac {c_{j-1}^{n}-2c_{i}^{n}+c_{j+1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}-\gamma ^{2}{\frac {c_{j-2}^{n}-4c_{j-1}^{n}+6c_{j}^{n}-4c_{j+1}^{n}+c_{j+2}^{n}}{(\Delta x)^{4}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32fd75cbff19c5febac51acda35fc6f9e37dcf62)
![{\displaystyle c_{j}^{n+1}=D\Delta t\left({\frac {(c_{j-1}^{n})^{3}-2(c_{i}^{n})^{3}+(c_{j+1}^{n})^{3}}{(\Delta x)^{2}}}-{\frac {c_{j-1}^{n}-2c_{j}^{n}+c_{j+1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}-\gamma ^{2}{\frac {c_{j-2}^{n}-4c_{j-1}^{n}+6c_{j}^{n}-4c_{j+1}^{n}+c_{j+2}^{n}}{(\Delta x)^{4}}}\right)+c_{j}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0369d5b19803cb8abfe8b523fe37e2deb51a6601)
![{\displaystyle c_{j}^{n+1}={\frac {D\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}\left((c_{j-1}^{n})^{3}-2(c_{i}^{n})^{3}+(c_{j+1}^{n})^{3}-{c_{j-1}^{n}-2c_{j}^{n}+c_{j+1}^{n}}-\gamma ^{2}{\frac {c_{j-2}^{n}-4c_{j-1}^{n}+6c_{j}^{n}-4c_{j+1}^{n}+c_{j+2}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}\right)+c_{j}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9b9310f4d4d6745fafa0fd816d2171b2ce2a18)
Referências