Pêndulos Estocásticos: mudanças entre as edições

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* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* Em todas as simulações fixamos <math> m_{1} </math> = <math> m_{2} </math> = <math> l_{1} </math> = <math> l_{2} </math> = <math> 1 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* As condições inicias serão sempre <math> \theta_{1}(t=0) </math> = <math> \theta_{2}(t=0) </math> = <math> \omega_{1}(t=0) </math> = <math> \omega_{2}(t=0) </math> = <math> 0 </math> ;
* Em todas as simulações o passo temporal é <math> dt = 10^{-3} </math> ;
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.
* Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.



Edição das 14h53min de 22 de agosto de 2024

Grupo : Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

Pêndulo Simples

Equação de movimento

Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento , sem massa e rígida que contém uma massa pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

Esquema de um pêndulo simples em um campo gravitacional constante.

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é , a equação de movimento é dada por:

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em , tal que sua componente tangencial () pode ser modelada por um ruído branco gaussiano da seguinte forma

em que é a intensidade do ruído. é caracterizado pelas seguintes propriedades:

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que , então

Método de integração

Vamos montar um método para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável , então ficamos com o seguinte sistema

que pode ser escrito na forma diferencial

mas é o incremento do processo de Wiener , então

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de para tem desvio padrão igual a

em que é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para ) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

  • Calcular um theta intermediário:
   
  • Com calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
   
Em que é a expressão do método de Euler visto logo acima.
  • Recalcular theta utilizando um omega intermediário
   
  • Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
   
OBS: No cálculo de e foi utilizado o mesmo .

Energia (Sem amortecimento)

Logo após terminar a implementação do método numérico, rapidamente notamos que a adição do ruído gera um aumento na energia mecânica do pêndulo (), vamos explorar esse fenômeno, sempre utilizando . Para ilustrar esse efeito, segue uma animação do pêndulo partindo do repouso na configuração de equilíbrio estável () com

Pêndulo partindo do repouso com ruído.

Para realizar uma exploração quantitativa, o seguinte procedimento foi feito para vários valores de :

  • Utilizando , integrar o sistema até , calculando e armazenando a energia em cada passo temporal. Repetir essa integração 700 vezes para fazer médias temporais. Como exemplo, segue os dados obtidos da energia em função do tempo (com a média temporal feita) para um determinado utilizado
Energia média em função tempo.
O gráfico nos indica que o ruído gera uma potência média sobre o pêndulo.
  • Realizar um ajuste linear nos dados para obter o coeficiente angular, que corresponde a potência média gerada pelo ruído ().

Com as simulações executadas, foi realizado o gráfico . Notamos que os dados se alinham em linha reta com os eixos em escala logarítmica, ou seja, os mesmos seguem uma lei de potência , então foi realizado outro ajuste linear para encontrar o expoente , a figura a seguir ilustra os dados e os resultados do ajuste:

Potência em função do ruído (). O painel da esquerda possui eixos em escala linear e o da direita em escala logarítmica.

Portanto, aumenta, aproximadamente, de forma quadrática com . Por fim, gostaríamos de mostrar que mesmo para muito pequeno, ainda existe energia sendo injetada no sistema com taxa constante, e isso não é um artefato da simulação. Para tal, foram realizadas 700 simulações com e os resultados foram comparados com

Energia média para muito pequeno comparado com nulo.

Energia (Com amortecimento)

Até o momento, o amortecimento foi negligenciado. Vamos, então, introduzi-lo e rodar várias simulações (700, neste caso) e observar como a média temporal da energia evolui ao longo do tempo, assim como foi feita na seção anterior. Utilizando e foi obtido o seguinte resultado

Energia mecânica média em função do tempo com amortecimento.

claramente o comportamento neste caso é diferente do observado sem amortecimento, agora a energia aumenta até um certo valor e permanece nele. Para explorar este novo fenômeno, os seguintes passos foram feitos para cada valor de :

  • Para diversos valores de , executar 700 simulações até a energia estabilizar, salvando a média da energia entre as simulações.
  • Para cada conjunto de dados gerados por um determinado , selecionar um intervalo de tempo onde a energia está estabilizada e calcular a sua média ().

Produzindo o gráfico de obtemos

Energia estabilizada média em função de para diferentes valores de amortecimento. Os painéis da esquerda possui eixos em escala linear e os da direita em escala logarítmica.

as linhas vermelhas são os melhores ajustas de leis de potência na forma . Para os dados utilizados no ajuste foram apenas até (indicado pela reta preta vertical no gráfico), pois após esse limite, a lei de potência deixa de ser um ótimo ajuste. É chamativo o fato de todos os coeficientes, independente de , serem aproximadamente 2.

Pêndulo invertido

O próximo pêndulo a ser considerado é um pêndulo invertido, que possui um potencial harmônico em seu ângulo, ou seja, um dos termos de sua energia potential é , sendo que agora é zero quando a haste está apontando para cima, conforme ilustrado na figura a seguir

Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.


Ainda, a base do pêndulo é livre para movimentar-se na direção vertical, é justamente nesse local onde será adicionado uma força ruidosa. A equação de movimento neste caso é

O primeiro termo vem da resistência do ar, o segundo se origina da gravidade e do deslocamento de e o último provém da "mola" em . Vamos supor que existe um vínculo mantendo a base fixa, mas o local onde o pêndulo é fixado pode se movimentar de forma aleatória na direção vertical, supondo que tal movimento pode ser modelado por ruído branco gaussiano, segue que . Introduzindo a variável , ficamos com os seguintes sistemas de equações na forma diferencial

Note que agora o ruído é multiplicativo, em contraste com o ruído aditivo dos pêndulos anteriores, para lidar com esta complicação, no momento da integração vamos utilizar um médio no argumento do seno que multiplica

Esse tipo de pêndulo é de grande interesse em algumas áreas, como na engenharia estrutural, pois uma coluna comprimida pode ser modelada como um pêndulo invertido com uma mola na base, o ruído da base pode representar um terremoto.

Uma questão interessante neste modelo é sobre a estabilidade da configuração quando é adicionado ruído e amortecimento. Se é grande o suficiente, sem ruído, o equilíbrio é estável, mas é possível sair dessa configuração adicionando ruído, cujo valor limite vai depender do amortecimento. Podemos demostrar isso integrando o sistema, partindo da condição inicial , com valores de muito próximos:

Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.
Esquema do pêndulo invertido com movimento vertical livre na base.

os seguintes valores foram utilzados

No gráfico da esquerda, o ângulo oscilou um pouco e permaneceu em 0, já no outro, eventualmente, o ângulo explodiu. Abaixo segue uma animação dessa situação, mas com para o pêndulo sair do equilíbrio mais rápido

Pêndulo invertido partindo do equilíbrio com ruído.

Pêndulo Duplo

O pêndulo duplo estocástico é um sistema dinâmico que combina a complexidade intrínseca do pêndulo duplo com a introdução de elementos de aleatoriedade ou incerteza, tornando o comportamento do sistema ainda mais imprevisível e caótico. O pêndulo duplo em si é um exemplo clássico de um sistema caótico, onde pequenas variações nas condições iniciais podem resultar em trajetórias drasticamente diferentes. Quando um termo estocástico é adicionado, por exemplo, na forma de uma força externa aleatória ou de flutuações nos parâmetros do sistema, a análise e a previsão do movimento se tornam desafiadoras.

Pêndulo duplo não estocástico.

Equação de movimento

O pêndulo duplo consiste em dois pêndulos acoplados, onde o segundo pêndulo está suspenso na extremidade do primeiro. As equações de movimento para o pêndulo duplo sem termos estocásticos podem ser derivadas utilizando as equações de Lagrange, considerando as coordenadas angulares e como as variáveis generalizadas e são dadas por:

Mantendo , , , e fixos, defina :

assim podemos escrever as equações dinâmicas de maneira mais compacta,

Suponha que haja um força externa ruidosa agindo sobre tal que, , onde além de representar a intensidade do ruído gaussiano, terá consigo todas as constantes agrupadas, suponha o mesmo para . Assim as equações de movimento se tornam:

Portanto, obtemos um sistema de equações diferencias estocásticas com ruído gaussiano aditivo.

Método de integração

Para a integração numérica desse sistema utilizaremos o método Runge-Kutta 4. Seja , reduzindo a ordem das equações diferencias, o sistema se torna:

na forma diferencial:

onde é o incremento do processo de Wiener. Discretizando as equações diferencias e aplicando o método RK4, obtemos:

novamente, é uma amostra de distribuição gaussiana de média 0 e variância 1. É completamente análogo para e . Utilizamos o RK4 pois necessitávamos de um alta precisão no cálculos por se tratar de um sistema caótico, simulações feitas sem o ruído externo mostram oscilações na energia total da ordem de , o que se espera de um método de quarta ordem.

Retrato de fase

O retrato de fase é uma ferramenta gráfica que representa a evolução do sistema dinâmico em termos de variáveis de estado, geralmente o ângulo e a velocidade angular no caso de sistemas oscilatórios como pêndulos. Este tipo de gráfico permite uma visualização clara de como o sistema se comporta ao longo do tempo, identificando padrões, ciclos limitados, ou comportamentos caóticos. Quando o sistema é perturbado por ruídos, o retrato de fase mostrará como essas perturbações afetam a trajetória do sistema, introduzindo variações que podem transformar oscilações regulares em comportamentos mais complexos ou caóticos.

Caso 1 : Ruído em θ₁

Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em , e .

Neste cenário, o ruído afeta apenas o primeiro pêndulo, introduzindo variações na trajetória de e . O retrato de fase para versus mostra uma dispersão maior em comparação com versus , onde o comportamento pode permanecer mais regular se não houver acoplamento forte entre os pêndulos.

Caso 2 : Ruído em θ₂

Pêndulo duplo estocástico com ruído branco em , e .

Com ruído aplicado apenas ao segundo pêndulo, e exibem uma dispersão significativa no retrato de fase, enquanto versus pode permanecer mais regular. A interação entre os pêndulos, no entanto, pode ainda transferir alguma irregularidade de para .

Caso 3 : Ruídos Iguais em θ₁ e θ₂

Pêndulo duplo estocástico com ruído branco igual em e , e .

Quando o mesmo ruído é aplicado a ambos os pêndulos, as trajetórias de e serão correlacionadas, resultando em retratos de fase que se comportam de maneira similar. Pode-se observar um padrão sincrônico onde ambos os pêndulos respondem de maneira similar às perturbações, mantendo uma relação quase constante entre e .

Caso 4 : Ruídos Diferentes em θ₁ e θ₂

Pêndulo duplo estocástico com ruídos brancos diferentes em e , e .

Aplicar ruídos diferentes a cada pêndulo pode resultar no comportamento mais complexo e caótico. As trajetórias de versus e versus podem mostrar padrões bastante distintos, refletindo a falta de correlação entre as perturbações. Esse cenário pode conduzir a uma maior imprevisibilidade no comportamento do sistema como um todo, especialmente em regiões do espaço de fase onde os pêndulos interagem fortemente.

Energia

Afim de compreender como se comporta a energia mecânica do pêndulo duplo com o acréscimo de uma força externa ruidosa, vamos analisar 4 sistemas de pêndulo duplo onde o ruído é adicionado de alguma maneira específica. Alguns pontos a serem observados são :

  • Em todas as simulações fixamos = = = =  ;
  • As condições inicias serão sempre = = = =  ;
  • Em todas as simulações o passo temporal é  ;
  • Nos casos onde são calculadas grandezas médias, foram realizadas 100 simulações.

Caso 1 : Ruído em θ₁

Nesta simulação, uma força ruidosa foi introduzida exclusivamente na equação dinâmica para . A análise da energia mecânica média revela um aumento linear ao longo do tempo, indicando que, em média, o ruído está efetivamente injetando energia no sistema.

Energia mecânica média do pêndulo duplo sujeito a um ruído em .

No entanto, o desvio padrão dessa energia é extremamente elevado, o que sugere que, em certos momentos, a quantidade de energia injetada pelo ruído é quase nula. Esse comportamento pode ser exemplificado pelo fenômeno de ressonância destrutiva, como ilustrado no seguinte exemplo:


Energia mecânica do pêndulo duplo sujeito a um ruído em .
Simulação do pêndulo duplo sujeito a um ruído em .


Por volta dos 30 segundos de simulação, é possível observar uma ressonância destrutiva, causada pela interação entre o ruído aplicado e a inércia do sistema, que resulta em uma diminuição temporária da energia mecânica.

Caso 2 : Ruído em θ₂

Nesta simulação, uma força ruidosa foi introduzida exclusivamente na equação dinâmica para . Observa-se, de maneira semelhante ao caso anterior, um aumento linear da energia mecânica média do sistema.

Energia mecânica média do pêndulo duplo sujeito a um ruído em .

Embora essa situação pareça análoga ao caso 1, uma análise comparativa entre a energia adicionada em ambos os casos revela diferenças importantes:

Comparação entre a energia mecânica do pêndulo no caso 1 e 2.

Os resultados mostram que, em média, a introdução de ruído no primeiro pêndulo do sistema provoca um aumento mais significativo na energia mecânica média em comparação com a aplicação de ruído apenas no segundo pêndulo.

Caso 3 : Ruídos em θ₁ e θ₂

Nessa simulação faremos a comparação entre dois casos :

  • Adicionaremos o mesmo ruído em e ;
  • Adicionaremos ruídos diferentes em e .

A seguir, analisamos a energia mecânica média em ambos os casos :

Comparação entre a energia mecânica média do pêndulo quando há uma simetria no ruído e quando não há.

Os resultados mostram que, em média, a aplicação de ruídos simétricos em e leva a um aumento mais pronunciado da energia mecânica. Esse efeito é atribuído a uma ressonância construtiva entre os ruídos idênticos, amplificando a energia do sistema. Em contraste, a aplicação de ruídos distintos provoca uma competição entre forças momentaneamente opostas, resultando em uma ressonância destrutiva que atenua o aumento da energia.

Referências

  1. NASCIMENTO, Luciano. A dinâmica lagrangeana do pêndulo duplo. Educ.&Tecnol., Belo Horizonte, v. 22, n. 1, p. 64-71, jan./abr. 2017.