Pêndulos Estocásticos: mudanças entre as edições
Linha 53: | Linha 53: | ||
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
\dot \theta &= \omega \\ | \dot \theta &= \omega \\ | ||
\dot \omega &= -2b\ | \dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t) | ||
\end{aligned} | \end{aligned} | ||
</math> | </math> | ||
Linha 64: | Linha 64: | ||
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
d\theta &= \omega dt \\ | d\theta &= \omega dt \\ | ||
d\omega &= (-2b\ | d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt | ||
\end{aligned} | \end{aligned} | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então | |||
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<math> | |||
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d\theta &= \omega dt \\ | |||
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t) | |||
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</math> | |||
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Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math> | |||
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<math> | |||
\begin{aligned} | |||
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\ | |||
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t} | |||
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</math> | |||
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em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação. | |||
Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos: | |||
* Calcular um theta intermediário: | |||
<math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math> | |||
* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário: | |||
<math> | |||
\begin{aligned} | |||
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\ | |||
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j) | |||
\end{aligned} | |||
</math> | |||
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima. | |||
* Recalcular theta utilizando um omega intermediário | |||
<math> \begin{aligned} | |||
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\ | |||
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t | |||
\end{aligned} </math> | |||
* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado | |||
<math> | |||
\begin{aligned} | |||
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\ | |||
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j) | |||
\end{aligned} | |||
</math> | |||
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>. |
Edição das 17h15min de 18 de agosto de 2024
Grupo : Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.
Pêndulo Simples
Equação de movimento
Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento , sem massa e rígida que contém uma massa pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.
Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é , a equação de movimento é dada por:
Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em (), que pode ser modelada por um ruído branco gaussiano da seguinte forma
em que é a intensidade do ruído. é caracterizado pelas seguintes propriedades:
Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com
A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que , então
Método de integração
Vamos montar um métodos para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável , então ficamos com o seguinte sistema
que pode ser escrito na forma diferencial
mas é o incremento do processo de Wiener (), então
Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de para tem desvio padrão igual a
em que é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.
Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para ) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:
- Calcular um theta intermediário:
- Com calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
- Em que é a expressão do método de Euler visto logo acima.
- Recalcular theta utilizando um omega intermediário
- Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
- OBS: No cálculo de e foi utilizado o mesmo .