Pêndulos Estocásticos: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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Linha 53: Linha 53:
\begin{aligned}
\begin{aligned}
\dot \theta &= \omega \\
\dot \theta &= \omega \\
\dot \omega &= -2b\dot \theta - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\dot \omega &= -2b \omega - sen(\theta) + \alpha\xi(t)
\end{aligned}
\end{aligned}
</math>
</math>
Linha 64: Linha 64:
\begin{aligned}
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\dot \theta - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
d\omega &= (-2b \omega - sen(\theta))dt + \alpha\xi(t)dt
\end{aligned}
\end{aligned}
</math>
</math>
</center>
</center>
mas <math>\xi(t)dt</math> é o incremento do processo de Wiener (<math>W(t) = \int_0^t \xi(t')dt' </math>), então
<center>
<math>
\begin{aligned}
d\theta &= \omega dt \\
d\omega &= (-2b\omega - sen(\theta))dt + \alpha dW(t)
\end{aligned}
</math>
</center>
Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de <math>W(t)</math> para <math>W(t+\Delta t)</math> tem desvio padrão igual a <math>\sqrt{\Delta t}</math>
<center>
<math>
\begin{aligned}
\theta_{j+1} &= \theta_{j} + \omega_j \Delta t \\
\omega_{j+1} &= \omega_{j} + (-2b \omega_j - sen(\theta_j))\Delta t + \alpha {R_G}_j \sqrt{\Delta t}
\end{aligned}
</math>
</center>
em que <math>R_G</math> é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.
Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para <math> \theta </math>) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:
* Calcular um theta intermediário:
    <math> \theta^{(2)}_{j+1} = \theta_j + \omega_j \Delta t </math>
* Com <math> \theta^{(2)}_{j+1} </math> calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
    <math>
\begin{aligned}
\bar \theta_j &= \frac{\theta^{(2)}_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega^{(2)}_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta_j, \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:Em que <math>f</math> é a expressão do método de Euler visto logo acima.
* Recalcular theta utilizando um omega intermediário
    <math> \begin{aligned}
\bar \omega_j &= \frac{\omega^{(2)}_{j+1} + \omega_j}{2} \\
\theta_{j+1} &= \theta_j + \bar \omega_j \Delta t
\end{aligned} </math>
* Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
    <math>
\begin{aligned}
\bar \theta^{(2)}_j &= \frac{\theta_{j+1} + \theta_j}{2} \\
\omega_{j+1} &= \omega_j + f(\bar \theta^{(2)}_j, \bar \omega_j, {R_G}_j)
\end{aligned}
</math>
:OBS: No cálculo de <math>\omega^{(2)}_{j+1}</math> e <math>\omega_{j+1}</math> foi utilizado o mesmo <math>{R_G}_j</math>.

Edição das 17h15min de 18 de agosto de 2024

Grupo : Gustavo H. Guesser, Joshua L. Kipper, Marcos Pasa.

Pêndulo Simples

Equação de movimento

Primeiramente vamos inserir ruído em um pêndulo simples, que é constituído de uma barra de comprimento , sem massa e rígida que contém uma massa pontual em sua ponta, conforme ilustrado na figura a seguir.

Esquema de um pêndulos simples em um campo gravitacional constante.

Considerando que o pêndulo está sob o efeito da gravidade e se encontra submerso em um fluido viscoso (como o ar), tal que a força de resistência que atua na massa é , a equação de movimento é dada por:

Vamos supor que existe uma força ruidosa atuando em (), que pode ser modelada por um ruído branco gaussiano da seguinte forma

em que é a intensidade do ruído. é caracterizado pelas seguintes propriedades:

Adicionando essa nova força nas equações de movimento, ficamos com

A partir de agora, por questão de simplicidade, vamos supor que , então

Método de integração

Vamos montar um métodos para integrar o sistema no tempo. Primeiramente vamos dividir a equação em duas equações diferencias de primeira ordem, introduzindo a variável , então ficamos com o seguinte sistema

que pode ser escrito na forma diferencial

mas é o incremento do processo de Wiener (), então

Discretizando o tempo e lembrando que a densidade de probabilidade de transição de para tem desvio padrão igual a

em que é uma amostra de uma distribuição gaussiana com média 0 e variância 1, e o método de Euler foi utilizado para a parte determinística da equação.

Nas próximas seções será analisado a energia do sistema, e como o método de Euler não é muito bom para preservar a energia de sistemas conservativos, será utilizado o método preditor corretor (com adição do método de Heun para ) para a parte determinística da equação, que consiste nos seguintes passos:

  • Calcular um theta intermediário:
   
  • Com calcular um theta médio e utilizá-lo para obter um omega intermediário:
   
Em que é a expressão do método de Euler visto logo acima.
  • Recalcular theta utilizando um omega intermediário
   
  • Recalcular omega com um theta intermediário atualizado
   
OBS: No cálculo de e foi utilizado o mesmo .