MBA: Gás simples

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Colisão entre partículas

Considerando um modelo simples de gás ideal, não há força atuando sob as partículas, então a interação que ocorre entre as partículas se dá apenas por meio de colisões. Assim é necessário calcular a variação na velocidade de cada partícula após a colisão. Começando em uma dimensão, precisamos garantir a conservação do momento:

$$m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'=m_{1}v_{1}''+m_{2}v_{2}''$$

E da energia cinética:

$${\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}'^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}'^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}''^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}''^{2}$$

Colocando o referencial de forma que ${\textstyle v_{2}'=0}$, então as velocidades no novo referencial podem ser escritas como ${\textstyle u_{i}=v_{i}-v_{2}'}$, de forma que da conservação do momento ficamos com:

$$u_{1}''=u_{1}'-{\frac {m_{2}}{m_{1}}}u_{2}'',\qquad (1)$$

Elevando ao quadrado:

$$u_{1}''^{2}=u_{1}'^{2}-\left({\frac {m_{2}}{m_{1}}}\right)^{2}u_{2}''^{2}-2{\frac {m_{2}}{m_{1}}}u_{1}'u_{2}''$$

Substituindo na equação de conservação de energia, podemos encontrar ${\textstyle u_{2}''}$:

$${\begin{array}{c}m_{1}u_{1}'^{2}=m_{1}u_{1}''^{2}+m_{2}u_{2}''^{2}\\m_{1}u_{1}'^{2}=m_{1}\left[u_{1}'{}^{2}+\left({\frac {m_{2}}{m_{1}}}\right)^{2}u_{2}''^{2}-2{\frac {m_{2}}{m_{1}}}u_{1}'u_{2}''\right]+m_{2}u_{2}''^{2}\\m_{1}u_{1}'^{2}=m_{1}u_{1}'{}^{2}+{\frac {m_{2}^{2}}{m_{1}}}u_{2}''^{2}-2m_{2}u_{1}'u_{2}''+m_{2}u_{2}''^{2}\\0=\left({\frac {m_{2}^{2}}{m_{1}}}+m_{2}\right)u_{2}''^{2}+\left(-2m_{2}u_{1}'\right)u_{2}''\\0=\left({\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}}}\right)u_{2}''^{2}+\left(-2u_{1}'\right)u_{2}''\end{array}}$$

Calculando as raízes do segundo grau, temos:

$$u_{2}''={\frac {2u_{1}'\pm {\sqrt {4u_{1}'^{2}}}}{2\left({\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}}}\right)}}={\frac {m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}\left(u_{1}'\pm u_{1}'\right)$$

E como uma solução é ${\textstyle u_{2}'=0}$, mas queremos a situação em que ${\textstyle u_{2}'\neq 0}$, logo:

$$u_{2}''={\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}u_{1}'$$

Substituindo em (1), temos:

$${\begin{array}{c}u_{1}''=u_{1}'-{\frac {m_{2}}{m_{1}}}\left({\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}u_{1}'\right)\\u_{1}''=\left(1-{\frac {2m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}\right)u_{1}\\u_{1}''=\left({\frac {m_{2}+m_{1}-2m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}\right)u_{1}\end{array}}$$

Ou seja:

$$u_{1}''={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}u_{1}'$$

Retornando ao referencial original, sendo ${\textstyle v_{i}=u_{i}+v_{2}'}$, temos então para ${\textstyle v_{1}'}$:

$${\begin{array}{c}u_{1}''={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}u_{1}'\\v_{1}''-v_{2}'={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}\left(v_{1}'-v_{2}'\right)\\v_{1}''={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}v_{1}'+\left(1-{\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}\right)v_{2}'\\v_{1}''={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}v_{1}'+{\frac {2m_{2}}{m_{2}+m_{1}}}v_{2}'\end{array}}$$

E de maneira análoga para ${\textstyle v_{2}'}$:

$${\begin{array}{c}u_{2}''={\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}u_{1}'\\v_{2}''-v_{2}'={\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}\left(v_{1}'-v_{2}'\right)\\v_{2}''={\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}v_{1}'+\left(1-{\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}\right)v_{2}'\\v_{2}''={\frac {2m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}v_{1}'+{\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{2}+m_{1}}}v_{2}'\end{array}}$$

Um caso especial ocorre se ${\textstyle m_{1}=m_{2},\qquad (2)}$ então temos simplesmente:

$$v_{1}''=v_{2}',\qquad {\text{e}}\qquad v_{2}''=v_{1}'$$

Em duas dimensões, podemos reduzir o problema a uma dimensão, considerando que toda a alteração na velocidade devido a colisão entre partículas ocorre apenas na componente paralela a reta que liga o centro das duas esferas. Considerando que a posição de cada partícula é dada por ${\textstyle {\overrightarrow {r}}_{i}}$, então um vetor entre as partículas pode ser escrito como ${\textstyle {\overrightarrow {d}}={\overrightarrow {r}}_{2}-{\overrightarrow {r}}_{1}}$. Podemos projetar ambas as velocidades então fazendo:

$${u}_{i}'={\frac {{\overrightarrow {v}}_{i}\cdot {\overrightarrow {d}}}{\left|{\overrightarrow {d}}\right|}}={\overrightarrow {v}}_{i}\cdot {\widehat {d}}$$

Obtemos o módulo da velocidade da partícula ${\textstyle i}$ na direção ${\textstyle {\overrightarrow {d}}}$ e podemos trabalhar em uma única dimensão para encontrarmos a velocidade de ambas partículas após a colisão nesta dimensão. Ao fim podemos decompor novamente a velocidade final ${\textstyle u_{i}''}$ em ambos os eixos mantendo a mesma direção utilizando ${\textstyle \theta =\arctan \left({\frac {\Delta {y}}{\Delta x}}\right)}$, onde ${\textstyle \Delta z=z_{2}-z_{1}}$ é a diferença entre a posição das partículas ${\textstyle 2}$ e ${\textstyle 1}$ na componente ${\textstyle z}$.

Além disso vale lembrar que há a componente da velocidade perpendicular a ${\textstyle {\overrightarrow {d}}}$, que vamos denotar como ${\textstyle {\overrightarrow {w}}_{i}={\overrightarrow {v}}_{i}-u_{i}'\left(\cos \theta ,\sin \theta \right)}$. Esta componente perpendicular permanece inalterada e pode ser visualizada na figura ao lado.

Colisão entre duas partículas mostrando explicitamente os vetores relacionados à partícula 1.

Sendo assim, a velocidade final é dada por:

$${\begin{array}{c}{\overrightarrow {v}}_{i}^{\left(f\right)}=\left(u_{i}''\cos \theta ,u_{i}''\sin \theta \right)+{\overrightarrow {w}}_{i}\\{\overrightarrow {v}}_{i}^{\left(f\right)}=u_{i}''\left(\cos \theta ,\sin \theta \right)+{\overrightarrow {v}}_{i}-u_{i}'\left(\cos \theta ,\sin \theta \right)\\{\overrightarrow {v}}_{i}^{\left(f\right)}={\overrightarrow {v}}_{i}+\left(u_{i}''-u_{i}'\right)\left(\cos \theta ,\sin \theta \right)\\{\overrightarrow {v}}_{i}^{\left(f\right)}={\overrightarrow {v}}_{i}^{\left(f\right)}={\overrightarrow {v}}_{i}+\left(u_{i}''-u_{i}'\right){\overrightarrow {a}}\end{array}}$$

Onde ${\textstyle {\overrightarrow {a}}}$ é um vetor unitário que nos dá a direção entre os centros das partículas. Utilizando ad identidades:

$$\cos \left(\arctan \left(x\right)\right)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad \sin \left(\arctan \left(x\right)\right)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$$

ficamos então com:

$${\begin{array}{c}{\overrightarrow {a}}=\left(\cos \theta ,\sin \theta \right)\\{\overrightarrow {a}}=\left(\cos \arctan \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right),\sin \arctan \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)\right)\\{\overrightarrow {a}}=\left({\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {\Delta {y}}{\Delta x}}\right)^{2}}}},{\frac {\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)}{\sqrt {1+\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)^{2}}}}\right)\\{\overrightarrow {a}}={\frac {1}{\Delta x}}{\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {\Delta {y}}{\Delta x}}\right)^{2}}}}\left(\Delta x,\Delta y\right)\\{\overrightarrow {a}}={\frac {1}{\frac {\Delta x}{\Delta x}}}{\frac {1}{\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}}\left(\Delta x,\Delta y\right)\end{array}}$$

Logo:

$${\overrightarrow {a}}={\frac {\left(\Delta x,\Delta y\right)}{\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}}$$

E uma vez que ${\textstyle {\overrightarrow {d}}={\overrightarrow {r}}_{2}-{\overrightarrow {r}}_{1}=\left(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1}\right)=\left(\Delta x,\Delta y\right)}$, então ${\textstyle {\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {d}}/\left|d\right|={\widehat {d}}}$. Logo:

$${\overrightarrow {v}}_{i}^{\left(f\right)}={\overrightarrow {v}}_{i}+\left(u_{i}''-u_{i}'\right){\widehat {d}}$$

Ou ainda mais explícito, se fizermos ${\textstyle m_{1}=m_{2}}$, sendo as partículas ${\textstyle i}$ e ${\textstyle j}$, onde ${\textstyle i\neq j}$, usando (2):

$${\begin{array}{cc}{\overrightarrow {v}}_{i}^{\left(f\right)}&={\overrightarrow {v}}_{i}+\left(u_{j}'-u_{i}'\right){\widehat {d}}\\{\overrightarrow {v}}_{i}^{\left(f\right)}&={\overrightarrow {v}}_{i}+\left({\overrightarrow {v}}_{j}\cdot {\widehat {d}}-{\overrightarrow {v}}_{i}\cdot {\widehat {d}}\right){\widehat {d}}\end{array}}$$

Temos então que:

$${\overrightarrow {v}}_{i}^{\left(f\right)}={\overrightarrow {v}}_{i}+\left[\left({\overrightarrow {v}}_{j}-{\overrightarrow {v}}_{i}\right)\cdot {\widehat {d}}\right]{\widehat {d}}$$

Todo o cálculo exibido foi para uma partícula, para a segunda partícula, o cálculo é análogo.

Distribuição de velocidades para um gás a certa temperatura

A distribuição das velocidades das moléculas de um gás é dada pela distribuição de Maxwell-Boltzmann

$$f\left(v\right)=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}4\pi v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{kT}}\right)$$

Foi realizado uma simulação com 100 partículas por 500.000 de passos em uma grade 100x100 com fronteira toroidal, o resultado encontra-se na figura abaixo assim como o código.

Resultado da simulação com a distribuição de Maxwell-Boltmann para kT=0.7 e m=1.

Código

Aqui chamamos a atenção que a principal diferença do código discutido para autômatos celulares é que agora não temos mais uma grade, mas um modelo contínuo. Também temos a possibilidade de configuração se as fronteiras serão toroidais (extremidades conectadas) ou não. Quanto aos resultados, precisamos considerar que é um modelo simplificado. O Calculo foi realizado para uma colisão entre duas partículas se dentro do mesmo passo deveria ocorrer mais de uma colisão, ou com mais de uma partícula simultaneamente o código falha, para remediar isso, o ideal é utilizar passos de tempo pequenos e/ou uma caixa relativamente grande em relação a quantidade de partículas. Além disso ao optarmos por uma fronteira toroidal ou não, estamos considerando uma caixa fechada ou não, ao considerarmos precisamos considerar a colisão com as fronteira também. Nesse último caso, uma simplificação simples é considerar que esta colisão ocorre primeiro. Novamente o problema surge se houver duas colisões no mesmo passo (agora podendo colidir com a fronteira), logo a recomendação é a mesma.

#Bibliotecas necessárias
from mesa import Agent, Model                                      #Classes Agente e Modelo
from mesa.time import SimultaneousActivation                       #Agendador simultâneo
from mesa.space import ContinuousSpace                             #Malha multigrid
import random                                                      #Número aleatórios
from mesa.datacollection import DataCollector                      #Importamos um coletor de dados
import matplotlib.pyplot as plt                                    #Plotar gráicos             
#from IPython.display import clear_output                           #Configurações de saída do Colab         
import numpy as np    

#AGENTE---------------------------------------------------------------------------------
class Agente(Agent):
    """Classe do agente"""
    def __init__(self, modelo,largura,altura):
        """Bibliotecas necessárias"""
        #modelo     - Modelo que ao qual o agente pertence
        super().__init__(self, modelo)        #Necessário para funcionar o modelo
        self.ppos     = (0,0)                 #Poição que irá se mover
        self.rai= 0.2                         #Raio
        self.lim=(largura,altura)             #Limites da caixa
        v=1                                   #Módulo da velocidade inicial
        ang = 2*random.random()*np.pi
        self.vel      = (v*np.cos(ang),v*np.sin(ang)) #Velocidade decomposta
        self.colisao=False
        self.ac=False
                
    def prox_pos(self):
      dt=0.01
      nx=self.pos[0]+self.vel[0]*0.01
      ny=self.pos[1]+self.vel[1]*0.01
      #Testar os limites
      if (nx < 0):
        nx = - nx; self.vel=(-self.vel[0],self.vel[1])
      if (nx > self.lim[0]):
        nx = 2*self.lim[0] - nx; self.vel=(-self.vel[0],self.vel[1])
      if (ny < 0):
        ny = - ny; self.vel=(self.vel[0], - self.vel[1])
      if (ny > self.lim[1]):
        ny = 2*self.lim[1] - ny;self.vel=(self.vel[0], - self.vel[1])

      return((nx,ny))
    
    def prox_vel(self):
        """Movimentação dos animais"""
        #Checamos se há colisão com outro animal:
        agentes = self.model.continuous.get_neighbors(pos=self.ppos, radius = 3*self.rai, include_center=True)
        for a in agentes:                                         #Percorremos a lista
          if (a.unique_id!=self.unique_id): 
              d=np.sqrt((a.ppos[0]-self.ppos[0])**2+(a.ppos[1]-self.ppos[1])**2)
              if (d<=2*self.rai):
                #Direção da colisão
                d=(a.ppos[0]-self.ppos[0],a.ppos[1]-self.ppos[1])/np.sqrt((a.ppos[0]-self.ppos[0])**2+(a.ppos[1]-self.ppos[1])**2)
                #Partícula 1
                u1=(a.vel[0]-self.vel[0])*d[0]+(a.vel[1]-self.vel[1])*d[1]
                nvel1=(self.vel[0]+u1*d[0],self.vel[1]+u1*d[1])
                #partícula 2,pela conservação de momento:
                nvel2=(self.vel[0]+a.vel[0]-nvel1[0],self.vel[1]+a.vel[1]-nvel1[1])   
                #Se nenhuma partícula tinha se colidido
                if (self.colisao==False and a.colisao==False):          
                  #Atualiza as velocidades
                  self.vel=nvel1; a.vel=nvel2
                  self.ac=True;a.ac=True   
                #Registra a colisão
                self.colisao=True; a.colisao=True       
                break
        return ()                                          

    def movimento(self):
      if(self.colisao):
        return (self.pos)
      else:
        return(self.ppos)
    
    def step(self):
        """Método obrigatório que prepara as mudanças"""
        self.ppos = self.prox_pos()
             
    def advance(self):
        """Método obrigatório que aplica as mudanças"""
        self.prox_vel()
        self.model.continuous.move_agent(self, self.movimento())

#MODELO
class Modelo(Model):
    """Modelo geral"""
    def gerar_particulas(self,N,largura,altura):
      """Função para gerar animais iniciais"""    
      #N        - Número de animais
      #largura  - Largura da grade
      #altura   - Altura da grade
      for n in range(N):
          con=True
          while(con):
            con=False
            a = Agente(self,largura,altura)
            X= largura*random.random()
            Y= altura*random.random()
            if (len(self.schedule.agents)==0):
              self.schedule.add(a)
              self.continuous.place_agent(a, (X, Y))
            else:
              agentes = self.continuous.get_neighbors(pos=(X,Y), radius = 2*a.rai, include_center=True)
              for viz in agentes:
                con = (True) if (len(agentes)==0) else (con)  #Precisamos checar se nasceu no mesmo lugar de outro animal
              if(con==False):
                self.schedule.add(a)
                self.continuous.place_agent(a, (X, Y))
      return()

    def __init__(self, modelo,N,seed=None):
        """Função chamada quando o modelo é inicializazdo"""
        # Modelo   - Dicionário com especificações do modelo
        # N        - Número de partículas
        # seed     - Seed dos números aleatórios do modelo do mesa
        
        # Desempacotar o dicionário
        largura = modelo["Largura"];altura=modelo["Altura"]; random.seed(modelo["Seed"])                     
        self.continuous = ContinuousSpace(x_max= largura, y_max=altura, torus= True, x_min=0, y_min= 0) #Configura a grade
        self.schedule   = SimultaneousActivation(self)            #Configura o agendador
        self.running   = True                                     #Condiçao para seguir executando o modelo
        self.gerar_particulas(N,largura,altura)    #Distribuir as ovelhas
           
    def step(self):
        """Avançar um passo do modelo"""
        self.schedule.step()                              #Avançamos os agentes
        #Limpamos as colisões
        for a in self.schedule.agents:                    #Vamos percorrer os agentes
          a.colisao=False
#Parâmetros
MAX =1000000
N=100
modelo  =  {"Largura":100     ,"Altura":100      ,"Seed":1} 
M = Modelo(modelo,N)
for i in range(MAX):
    M.step()
    if ((i+1)%(MAX/100)==0):
      #clear_output() 
      print(str(100*(1+i)/MAX)+"%")

vel=[]
E=0
for a in M.schedule.agents:
    vel.append(np.sqrt(a.vel[0]**2+a.vel[1]**2))
    E+=a.vel[0]**2+a.vel[1]**2
print(E)
with open('velocidades0.2R100K1000.txt', 'w') as f:
    f.write(str(vel))

Para plotar o gráfico, podemos então usar simplesmente:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

a,b,c=plt.hist(vel,8, density=True, facecolor='g', alpha=0.75)
m=1
K=0.7
x=np.arange(0,2.5, 0.00001)
y = (4/np.sqrt(np.pi))*((m/K)**(3/2))*(x**2)*np.exp(-m*(x**2)/K)
plt.plot(x,y)

Citações

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