Algoritmo de Wang Landau

Modelo de Ising

Uma rede 2D que conssite de uma variável discreta em cada sítio que pode ser usada para representar o momento de dipolo magnético de um átomo Cada sítio pode ter o valor de spin +1 ou -1.

O hamiltoniano pode ser calculado por

$H=-J\sum _{\langle ij\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}$

A soma ocorre sobre todos sítios vizinhos

Se considerarmos J>0 a interação é ferromagnética

J<0 é antiferromagnética

Uma maneira de estudar esse sistema é pelo algoritmo de Metropolis

1. Escolhe uma configuração inicial

2. Escolhe aleatoriamente um sitio

3. Flipa o spin desse sitio, recalcula a energia e a variação de energia

4. Gera um numero aleatorio 0 < r < 1

5. Se $r<e^{-\Delta E/k_{B}T}$, mantem o spin flipado, se não, volta

6. Volta para o passo 2

O modelo de ising também pode ser estudado pelo algoritmo de wang-landau

Wang-Landau

Consideramos somente os 4 vizinhos mais proximos

Método para obter densidade de estados de um sistema.

O algoritmo de wang-landau faz uma random walk no espaço de energias

Ele obtem a densidade de estados como uma função da energia, g(E). Essa função é incrivelmente útil...

Vamos manter o g(E) e também o histograma de visitas para cada energia

1. setamos g(E) = 1 e um fator de modificação f=e

2. Aleatoriamente flipa um spin com probabilidade: $p(E_{1}\to E_{2})=min(g(E_{1})/g(E_{2}),1)$

3. Modifica a densidade de estados $g(E)\to g(E)\times f$ e atualizamos o histograma

4. Continuamos até o histograma estiver reto, diminui o valor de f e reseta o histograma

5. Repito 2-4 até $\ln f\approx 1$

Funções

Função de partição:

$Z=\sum g(E)e^{-E/k_{B}T}$

Energia interna:

$U(T)={\frac {\sum _{E}Eg(E)e^{-E/k_{B}T}}{\sum _{E}g(E)e^{-E/k_{B}T}}}=\langle E\rangle$

Calor específico:

$C(T)={\frac {\partial U(T)}{\partial T}}={\frac {\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2}}{k_{B}T^{2}}}$

Energia livre de Helmoltz:

$F(T)=-k_{B}T\ln(Z)=-k_{B}T\ln \left(\sum _{E}g(E)e^{-E/k_{B}T}\right)$

Entropia:

$S(T)={\frac {U(T)-F(T)}{T}}$