Probabilidade básica: mudanças entre as edições
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Edição atual tal como às 16h44min de 19 de maio de 2021
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Conceitos importantes:
Experimento aleatório: experiência cujo resultado não é conhecido com certeza;
Espaço amostral Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(\Omega\right)} : conjunto formado por todos os possíveis resultados um experimento aleatório;
Eventos: subconjuntos do espaço amostral;
Espaço equiprovável: espaço em que todos os pontos amostrais tem a mesma chance de ocorrer;
Probabilidade de ocorrer um evento:
Definição clássica (a priori):
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P\left(A\right)=\frac{N\left(A\right)}{N\left(\Omega\right)}=\frac{\text{numero de resultados do evento A}}{\text{numero de resultados exclusivos e igualmente possiveis}}}
Definição frequentista (a posteriori):
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P\left(A\right)=\frac{r}{n}=\frac{\text{r vezes ocorreu o evento A}}{\text{experimento executado n vezes}}}
Definição axiomática:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 0\leq P\left(A\right)\leq1,\forall A\in\Omega}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle P\left(\Omega\right)=1}
Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A_{1},\dots,A_{n}} são eventos mutuamente exclusivos, então: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle P\left(\cup_{i=1}^{n}A\right)=\sum_{i=1}^{n}P\left(A\right)}
Eventos exclusivos: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A\cap B=\oslash} :
Eventos complementares: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A\cap B=\oslash} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A\cup B=\Omega}
União dos eventos (A ou B):
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)}
- Probabilidade condicional (probabilidade de ocorrer A, se ocorrer B):
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}} Para eventos independentes:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P\left(A|B\right)=P\left(A\right)}
Então para eventos independentes temos que a probabilidade de ocorrer o evento A e B é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)}
Mas para um caso mais geral: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P\left(A\cap B\right)=P\left(A|B\right)P\left(B\right)}
Ou seja a probabilidade de ocorrer os dois é a probabilidade de ocorrer o evento B (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle P\left(B\right)} ) multiplicado pela probabilidade de ocorrer o evento A se ocorrer o evento B Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle P\left(A|B\right)} , ou o contrário. Como exemplo vamos analisar duas formas de encarar a probabilidade de uma presa morrer, para isso vamos definir algumas coisas:
- Os animais podem ser extintos por predação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \mu_{\alpha}} e outros fatores naturais Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle e_{\alpha}} (falta de alimento, idade, etc);
- Os parâmetros são definidos em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle e_{\alpha}=\mu_{\alpha}=0.2} ;
- Será utilizada a interpretação à priori:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \Omega_{e}=\left\{ e,s_{0},s_{1},s_{2},s_{3}\right\}} , no evento Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle e} a presa é extinta por outros fatores naturais e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle s_{j}} sobrevive.
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \Omega_{\mu}=\left\{ e,s_{0},s_{1},s_{2},s_{3}\right\}} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle e} a presa é predada e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle s_{j}} sobrevive.
O primeiro caso é computando a probabilidade total da presa ser extinta como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle P=\mu_{\alpha}+e_{\alpha}=0.4} . Ou seja é como se cada presa tem 40% de chance no total de ser extinta, onde desses 40%, 20% é devido a predação e 20% por outros fatores naturais. A probabilidade então de ser extinta, considerando que é dada pela união dos conjuntos que dizem respeito a ser predada Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A} e ser extinta por fatores naturais Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle B} é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)}
Temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle P\left(A\cap B\right)=0} . Então se ocorreu Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle B} , não pode ocorrer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle A} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle P\left(A|B\right)=0} , ou vice-versa, são eventos mutuamente exclusivos. Ou seja, as combinações possíveis onde não ocorre extinção é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega_{ss}=\left\{ \begin{array}{cccc} - & s_{0}s_{1} & s_{0}s_{2} & s_{0}s_{3}\\ s_{1}s_{0} & - & s_{1}s_{2} & s_{1}s_{3}\\ s_{2}s_{0} & s_{2}s_{1} & - & s_{2}s_{3}\\ s_{3}s_{0} & s_{3}s_{1} & s_{3}s_{2} & - \end{array}\right\}}
Lembrando não podemos repetir os eventos, nem de extinção, nem de sobrevivência. Se retirarmos a extinção no primeiro evento não podemos retirar no segundo, por exemplo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \Omega_{es}=\left\{ es_{0},es_{1},es_{2},es_{3}\right\}} ou , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \Omega_{se}=\left\{ s_{0}e,s_{1}e,s_{2}e,s_{3}e\right\}} , então o espaço amostral total é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega=\Omega_{ss}\cup\Omega_{es}\cup\Omega_{se}=\left\{ \begin{array}{ccccc} - & es_{0} & es_{1} & es_{2} & es_{3}\\ s_{0}e & - & s_{0}s_{1} & s_{0}s_{2} & s_{0}s_{3}\\ s_{1}e & s_{1}s_{0} & - & s_{1}s_{2} & s_{1}s_{3}\\ s_{2}e & s_{2}s_{0} & s_{2}s_{1} & - & s_{2}s_{3}\\ s_{3}e & s_{3}s_{0} & s_{3}s_{1} & s_{3}s_{2} & - \end{array}\right\}}
A probabilidade de ocorrer extinção é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \frac{8}{20}=0.4} . Outra forma de computar a probabilidade total de uma presa ser extinta, é tratar a probabilidade de ser extinta por causas naturais (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle e_{\alpha}} ), e a probabilidade de ser predada a cada encontro com predador (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \mu_{\alpha}} ) como eventos independentes. Portanto a probabilidade total da presa ser extinta neste cenário é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\right)P\left(B\right)} . Isto é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega=\Omega_{e}\cup\Omega_{e}=\left\{ \begin{array}{ccccc} ee & es_{0} & es_{1} & es_{2} & es_{3}\\ s_{0}e & s_{0}s_{0} & s_{0}s_{1} & s_{0}s_{2} & s_{0}s_{3}\\ s_{1}e & s_{1}s_{0} & s_{1}s_{1} & s_{1}s_{2} & s_{1}s_{3}\\ s_{2}e & s_{2}s_{0} & s_{2}s_{1} & s_{2}s_{2} & s_{2}s_{3}\\ s_{3}e & s_{3}s_{0} & s_{3}s_{1} & s_{3}s_{2} & s_{3}s_{3} \end{array}\right\}}
Agora a probabilidade é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \frac{9}{25}=0.36} . Que é o mesmo resultado se fazemos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle P=\mu_{\alpha}+e_{\alpha}-\mu_{\alpha}e_{\alpha}=0.36}
Principais materiais utilizados
- Introdução à Teoria das Probabilidades (Victor Hugo Lachos Davila, UNICAMP)
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