Equação de Cahn-Hilliard em 2D

Leonardo Dasso Migottto WORK IN PROGRESS

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard, utilizando a Transformada Rápida de Fourier [1] em uma e (principalmente) em duas dimensões. Será explorado as variações em concentração inicial e seus respectivos padrões formados, dados coeficientes de difusão e largura da superfície fixos.

Esta equação já foi tratada em detalhes por colegas anteriores a mim[2], e a leitura do trabalho por eles desenvolvido é recomendada para maior entendimento da equação. O foco deste trabalho é explorar a solução numérica para a equação quando tratada em duas dimensões, onde a formação de padrões apresenta resultados mais interessantes. No entanto, a fim de facilitar a implementação e entendimento em duas dimensões, também será exibido uma implementação em uma dimensão.

Equação de Cahn-Hiliiard utilizando Transformada de Fourier

Para encontrar a equação que implementaremos com o uso da Transformada Rápida de Fourier, precisamos encontrar a nossa equação representada no espaço de Fourier. Seguirei a literatura de S. Bulent Biner [3], onde há um capítulo dedicado a resolver equações de difusão com métodos que utilizam esta transformada. Primeiro, resolveremos em uma dimensão a equação, que segue abaixo:

${\frac {\partial c}{\partial t}}=D{\nabla }^{2}(c^{3}-c-\gamma {\nabla }^{2}c)$

Em uma dimensão, os laplacianos podem ser substituídos pela derivada segunda em relação a $x$, resultando na seguinte equação:

${\frac {\partial c}{\partial t}}=D{\Bigl (}{\frac {\partial ^{2}(c^{3}-c)}{\partial x^{2}}}-\gamma {\frac {\partial ^{4}c}{\partial x^{4}}}{\Bigr )}$

Para solucioná-la numericamente, aplicaremos a Transformada de Fourier à frente em ambos os lados, da maneira descrita abaixo, onde k é o respectivo coeficiente de Fourier):

${\frac {\partial \{c\}_{k}}{\partial t}}=D{\Bigl (}{\Bigl \{}{\frac {\partial ^{2}c^{3}-c}{\partial x^{2}}}{\Bigr \}}_{k}-\gamma {\Bigl \{}{\frac {\partial ^{4}c}{\partial x^{4}}}{\Bigr \}}_{k}{\Bigr )}$

Em seguida, substituimos as derivadas espaciais pela sua equivalente no espaço de Fourier:

${\Bigl \{}{\frac {\partial ^{n}c}{\partial x^{n}}}{\Bigr \}}_{k}\to (ik)^{n}\{c\}_{k}$

Assim, obtemos a seguinte equação:

${\frac {\partial \{c\}_{k}}{\partial t}}=D{\bigl (}-k^{2}(\{c^{3}\}_{k}-\{c\}_{k})-\gamma k^{4}\{c\}_{k}{\bigr )}$

O próximo passo é fazer a derivada à direita quanto ao tempo da seguinte maneira:

${\frac {\partial \{c\}_{k}}{\partial t}}\to {\frac {\{c\}_{k}^{n+1}-\{c\}_{k}^{n}}{\Delta t}}$

Substituindo na equação e reescrevendo-a a fim de isolar $\{c\}_{k}^{n+1}$, obtemos a equação final:

$\{c\}_{k}^{n+1}=\{c\}_{k}^{n}+D\Delta t{\bigl (}-k^{2}(\{c^{3}\}_{k}^{n}-\{c\}_{k}^{n})-\gamma k^{4}\{c\}_{k}^{n}{\bigr )}$

Dado que conhecemos a forma da equação em uma dimensão, podemos encontrar sua equivalente bidimensional com maior facilidade. A única diferença entre as duas equações está no laplaciano, que resultará na derivada no eixo $y$ aparecer também. No entanto, a notação da transformada permanece a mesma, e $k$ representará um vetor com coordenada $(k_{1},k_{2})$ com módulo ${\sqrt {k_{1}^{2}+k_{2}^{2}}}$, onde $k_{1}$ e $k_{2}$ são os coeficientes em $x$ e $y$ respectivamente.

Resultados em uma dimensão

Como já há um trabalho que trata em detalhes a implementação unidimensional e seus resultados, irei comparar aqui ambas implementações. Abaixo, vemos uma animação comparando ambos métodos a partir de uma condição inicial aleatória, utillizando condições de contorno periódicas, com o maior valor de erro destacado no topo. O valor das constantes relevantes são: $\Delta t={\frac {10^{-6}}{22}},\Delta x={\frac {1}{128}},D=1,\gamma ={\frac {3.4}{128}}$.

FALAR DO ERRO E PROCURAR ERRO DO METODO EM ALGUM LUGAR NA INTERNET

Resultados em duas dimensões

Para todos resultados abaixo, foram utilizados as seguintes constantes relevantes: $\Delta t={\frac {1.8}{10^{-}7}},\Delta x={\frac {1}{128}},D=1,\gamma =0.01$.

Referências

[1] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/FFT

[2] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Cahn-Hilliard

[3] S_Bulent_Biner_Programming_Phase_Field_Modeling_Springer_2017