Modelo de Gray-Scott: mudanças entre as edições
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<math>\frac{\partial{u}}{\partial{t}}= a(u-h) + b(v-k) + D_u\nabla^2u</math> | |||
<math>\frac{\partial{v}}{\partial{t}}= c(u-h) + d(v-k) + D_v\nabla^2v</math> | |||
Edição das 20h25min de 20 de fevereiro de 2022
Introdução
Descrição do Modelo
The reaction-diffusion system described here involves two generic chemical species U and V, whose concentration at a given point in space is referred to by variables u and v. As the term implies, they react with each other, and they diffuse through the medium. Therefore the concentration of U and V at any given location changes with time and can differ from that at other locations.
There are two reactions which occur at different rates throughout the space according to the relative concentrations at each point:
U + 2V → 3V
V → P
P is an inert product. It is assumed for simplicity that the reverse reactions do not occur (this is a useful simplification when a constant supply of reagents8 prevents the attainment of equilibrium). Because V appears on both sides of the first reaction, it acts as a catalyst for its own production.
The overall behavior of the system is described by the following formula, two equations which describe three sources of increase and decrease for each of the two chemicals:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial{u}}{\partial{t}}= a(u-h) + b(v-k) + D_u\nabla^2u}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial{v}}{\partial{t}}= c(u-h) + d(v-k) + D_v\nabla^2v}
Análise de estabilidade
Em geral, a análise de estabilidade linear de sistemas reativos-difusivos se constitui em duas etapas. Inicialmente se determinam os estados de equilíbrio homogêneo estáveis (igualando os coeficientes de difusão a zero). A seguir se analisa se a inclusão dos coeficientes de difusão gera instabilidade naqueles estados.
A difusão normalmente tende a homogeneizar o sistema. O surgimento de padrões complexos e não homogêneos ocorre nos casos de exceção a essa regra, quando a difusão torna os estados de equilíbrio instáveis. [1]
Nota: A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.
Estado de Equilíbrio Trivial
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F, k} e dos coeficientes de difusão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{u}, D_{v}} . É fácil mostrar que, ignorando os termos de difusão, o sistema possui estado de equilíbrio estável em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}, v^{*}) = (1, 0)} para quaisquer valores dos parâmetros.
Demonstração. O sistema de equações do modelo, com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = 0} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial v}{\partial t} = 0} , fazendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{u} = D_{v} = 0} , é dado por
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 = -uv^2 + F(1-u)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 = uv^2 - (F+k)v \quad (1)}
Logo, é trivial que o sistema acima é satisfeito quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}, v^{*}) = (1, 0)}
. Esse estado de equilíbrio é estável porque a matriz jacobiana Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J|_{(u^*,v^*) = (1,0)} = \left(\begin{array}{cc}-F&0\\0&-F-k\end{array}\right)}
possui traço negativo e determinante positivo[2].
Se agora incluímos os termos de difusão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{u}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{v}} , deve-se levar em consideração a matriz Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(J - D \omega^2\right)\Bigg|_{f = f_{eq}}} . Aqui, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J} é a matriz jacobiana dos termos de reação, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} é a matriz diagonal dos termos de difusão e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência[2]. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}, v^{*}) = (1, 0)} :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \left(\begin{array}{cc}-F-v^2&-2uv\\v^2&-F-k+2uv\end{array} \right) - \left(\begin{array}{cc}D_u&0\\0&D_v\end{array} \right) \omega^2 \right) \Bigg|_{(u^*,v^*) = (1,0)} = \left(\begin{array}{cc}-F - D_u \omega^2&0\\0&-F -k - D_v \omega^2\end{array} \right) }
Para que o estado de equilíbrio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}, v^{*}) = (1, 0)}
seja estável é necessário que o determinante da matriz acima seja positivo e o seu traço seja negativo. Obtém-se então
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (F+D_{u}\omega^2)(F+k+D_{v}\omega^2) > 0}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -2F - (D_{u}+D_{v})\omega^2 - k < 0}
Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F, k, D_{u}}
, e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{v}}
. Portanto, o estado de equilíbrio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}, v^{*}) = (1, 0)}
permanece estável no modelo de Gray-Scott mesmo após a inclusão dos coeficientes de difusão, sejam quais forem os valores desses coeficientes (lembrando que estamos nos restringindo a valores positivos dos parâmetros e coeficientes).
Estados de Equilíbrio Não Triviais
Como o modelo claramente exibe padrões complexos não homogêneos para diversos valores positivos de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F, k, D_{u}} , e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{v}} , devem então existir outros estados de equilíbrio. De fato, há outros dois estados de equilíbrio não triviais, soluções do sistema de equações (1).[3]
Os outros estados de equilíbrio do modelo de Gray-Scott, com a restrição Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\geq4(F+k)^2}
, são Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u_{+},v_{-})}
e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u_{-},v_{+})}
, com
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{\pm} = \frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{\mp} = \frac{1}{2\gamma^2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma = \frac{F + k}{F}}
Referências
- ↑ http://mcb111.org/w13/w13-lecture.html#the-gray-scott-model
- ↑ 2,0 2,1 H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.
- ↑ Tingting Wang et al., "Fractional Gray–Scott model: Well-posedness, discretization, and simulations, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering", Volume 347, 2019, pp. 1030-1049, ISSN 0045-7825, https://doi.org/10.1016/j.cma.2019.01.002.