Modelo de Gray-Scott: mudanças entre as edições

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==Análise de estabilidade==
== Análise de estabilidade ==


O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math>. É fácil mostrar que, ignorando os termos de difusão, o sistema possui estado de equilíbrio em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math>.
Em geral, a análise de estabilidade linear de sistemas reativos-difusivos se constitui em duas etapas. Inicialmente se determinam os estados de equilíbrio homogêneo estáveis (igualando os coeficientes de difusão a zero). A seguir se analisa se a inclusão dos coeficientes de difusão gera instabilidade naqueles estados.


'''Afirmação''': O modelo de Gray-Scott possui estado de equilíbrio homogêneo em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math>.  
A difusão normalmente tende a homogeneizar o sistema. O surgimento de padrões complexos e não homogêneos ocorre nos casos de exceção a essa regra, quando a difusão torna os estados de equilíbrio instáveis.


'''Demonstração''': Resolvendo o sistema de equações do modelo com <math>\frac{\partial u}{\partial t} = 0</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial t} = 0</math> e fazendo <math>D_{u} = D_{v} = 0</math>, temos
'''Nota''': A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.




<math>0 = -uv^2 + F(1-u)</math>
=== Estado de Equilíbrio Trivial ===
 


<math>0 = uv^2 - (F+k)v</math>
O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros <math>F, k</math> e dos coeficientes de difusão <math>D_{u}, D_{v}</math>. É fácil mostrar que, ignorando os termos de difusão, o sistema possui estado de equilíbrio estável em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> para quaisquer valores positivos dos parâmetros.


'''Demonstração'''. O sistema de equações do modelo, com <math>\frac{\partial u}{\partial t} = 0</math> e <math>\frac{\partial v}{\partial t} = 0</math>, fazendo <math>D_{u} = D_{v} = 0</math>, é dado por


É então trivial que o sistema acima é satisfeito quando <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math>.


Esse estado de equilíbrio é estável no modelo de Gray-Scott para quaisquer valores positivos de <math>F, k, D_{u}</math>, e <math>D_{v}</math>. É possível mostrar isso a partir da determinação dos autovalores da matriz
<math>0 = -uv^2 + F(1-u)</math>


<math>0 = uv^2 - (F+k)v \quad (1)</math> 


<math>\left(J - D \omega^2\right)\Bigg|_{f = f_{eq}}</math>


Logo, é trivial que o sistema acima é satisfeito quando <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math>. Esse estado de equilíbrio é estável porque a matriz jacobiana <math>J|_{(u^*,v^*) = (1,0)} = \left(\begin{array}{cc}-F&0\\0&-F-k\end{array}\right)</math> possui traço negativo e determinante positivo<ref name=Sayama260>H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.</ref>.


Aqui, <math>J</math> é a matriz jacobiana dos termos de reação, <math>D</math> é a matriz diagonal dos termos de difusão e <math>\omega</math> é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência<ref name=Sayama260>H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.</ref>. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math>
Se agora incluímos os termos de difusão <math>D_{u}</math> e <math>D_{v}</math>, deve-se levar em consideração a matriz <math>\left(J - D \omega^2\right)\Bigg|_{f = f_{eq}}</math>. Aqui, <math>J</math> é a matriz jacobiana dos termos de reação, <math>D</math> é a matriz diagonal dos termos de difusão e <math>\omega</math> é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência<ref name=Sayama260>H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.</ref>. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math>:




<math>\left( \left(\begin{array}{cc}-F-v^2&-2uv\\v^2&-F-k+2uv\end{array} \right) - \left(\begin{array}{cc}D_u&0\\0&D_v\end{array} \right) \omega^2  \right) \Bigg|_{(u,v) = (1,0)} = \left(\begin{array}{cc}-F - D_u \omega^2&0\\0&-F -k - D_v \omega^2\end{array} \right)  </math>
<math>\left( \left(\begin{array}{cc}-F-v^2&-2uv\\v^2&-F-k+2uv\end{array} \right) - \left(\begin{array}{cc}D_u&0\\0&D_v\end{array} \right) \omega^2  \right) \Bigg|_{(u^*,v^*) = (1,0)} = \left(\begin{array}{cc}-F - D_u \omega^2&0\\0&-F -k - D_v \omega^2\end{array} \right)  </math>




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Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores positivos de <math>F, k, D_{u}</math>, e <math>D_{v}</math>. Portanto, o estado de equilíbrio <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> é estável no modelo de Gray-Scott nessas condições.
Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores positivos de <math>F, k, D_{u}</math>, e <math>D_{v}</math>. Portanto, o estado de equilíbrio <math>(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)</math> permanece estável no modelo de Gray-Scott mesmo após a inclusão dos coeficientes de difusão, sejam quais forem os valores desses coeficientes (lembrando que estamos nos restringindo a valores positivos).
 
 
=== Estados de Equilíbrio Não Triviais ===
 
 
Como o modelo claramente exibe padrões complexos não homogêneos para diversos valores positivos de <math>F, k, D_{u}</math>, e <math>D_{v}</math>, devem então existir outros estados de equilíbrio. De fato, há outros dois estados de equilíbrio não triviais, soluções do sistema de equações (1).<ref name=Wang>Tingting Wang et al., "Fractional Gray–Scott model: Well-posedness, discretization, and simulations, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering", Volume 347, 2019, pp. 1030-1049, ISSN 0045-7825, https://doi.org/10.1016/j.cma.2019.01.002.</ref>


Como o modelo claramente exibe padrões complexos não homogêneos para diversos valores positivos de <math>F, k, D_{u}</math>, e <math>D_{v}</math>, devem então existir outros estados de equilíbrio e pelo menos um deles deve ser instável para determinados valores dos parâmetros. De fato, há outros dois estados de equilíbrio.<ref name=Wang>Tingting Wang et al., "Fractional Gray–Scott model: Well-posedness, discretization, and simulations, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering", Volume 347, 2019, pp. 1030-1049, ISSN 0045-7825, https://doi.org/10.1016/j.cma.2019.01.002.</ref>


Os outros estados de equilíbrio do modelo de Gray-Scott, ditos não triviais, são <math>(u_{+},v_{-})</math> e <math>(u_{-},v_{+})</math>, com  
Os outros estados de equilíbrio do modelo de Gray-Scott, com a restrição <math>F\geq4(F+k)^2</math>, são <math>(u_{+},v_{-})</math> e <math>(u_{-},v_{+})</math>, com  




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<math>\gamma = \frac{F + k}{F}</math>
<math>\gamma = \frac{F + k}{F}</math>


Esses estados são de equilíbrio quando <math>F\geq4(F+k)^2</math>.


== Referências ==
== Referências ==


<references/>
<references/>

Edição das 17h31min de 19 de fevereiro de 2022

Análise de estabilidade

Em geral, a análise de estabilidade linear de sistemas reativos-difusivos se constitui em duas etapas. Inicialmente se determinam os estados de equilíbrio homogêneo estáveis (igualando os coeficientes de difusão a zero). A seguir se analisa se a inclusão dos coeficientes de difusão gera instabilidade naqueles estados.

A difusão normalmente tende a homogeneizar o sistema. O surgimento de padrões complexos e não homogêneos ocorre nos casos de exceção a essa regra, quando a difusão torna os estados de equilíbrio instáveis.

Nota: A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.


Estado de Equilíbrio Trivial

O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros e dos coeficientes de difusão . É fácil mostrar que, ignorando os termos de difusão, o sistema possui estado de equilíbrio estável em para quaisquer valores positivos dos parâmetros.

Demonstração. O sistema de equações do modelo, com e , fazendo , é dado por



Logo, é trivial que o sistema acima é satisfeito quando . Esse estado de equilíbrio é estável porque a matriz jacobiana Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J|_{(u^*,v^*) = (1,0)} = \left(\begin{array}{cc}-F&0\\0&-F-k\end{array}\right)} possui traço negativo e determinante positivo[1].

Se agora incluímos os termos de difusão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{u}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{v}} , deve-se levar em consideração a matriz Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(J - D \omega^2\right)\Bigg|_{f = f_{eq}}} . Aqui, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J} é a matriz jacobiana dos termos de reação, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} é a matriz diagonal dos termos de difusão e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência[1]. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}, v^{*}) = (1, 0)} :


Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \left(\begin{array}{cc}-F-v^2&-2uv\\v^2&-F-k+2uv\end{array} \right) - \left(\begin{array}{cc}D_u&0\\0&D_v\end{array} \right) \omega^2 \right) \Bigg|_{(u^*,v^*) = (1,0)} = \left(\begin{array}{cc}-F - D_u \omega^2&0\\0&-F -k - D_v \omega^2\end{array} \right) }


Para que o estado de equilíbrio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}, v^{*}) = (1, 0)} seja estável é necessário que o determinante da matriz acima seja positivo e o seu traço seja negativo. Obtém-se então


Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (F+D_{u}\omega^2)(F+k+D_{v}\omega^2) > 0}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -2F - (D_{u}+D_{v})\omega^2 - k < 0}


Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores positivos de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F, k, D_{u}} , e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{v}} . Portanto, o estado de equilíbrio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}, v^{*}) = (1, 0)} permanece estável no modelo de Gray-Scott mesmo após a inclusão dos coeficientes de difusão, sejam quais forem os valores desses coeficientes (lembrando que estamos nos restringindo a valores positivos).


Estados de Equilíbrio Não Triviais

Como o modelo claramente exibe padrões complexos não homogêneos para diversos valores positivos de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F, k, D_{u}} , e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{v}} , devem então existir outros estados de equilíbrio. De fato, há outros dois estados de equilíbrio não triviais, soluções do sistema de equações (1).[2]


Os outros estados de equilíbrio do modelo de Gray-Scott, com a restrição Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\geq4(F+k)^2} , são Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u_{+},v_{-})} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u_{-},v_{+})} , com


Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{\pm} = \frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{\mp} = \frac{1}{2\gamma^2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma = \frac{F + k}{F}}


Referências

  1. ↑ 1,0 1,1 H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.
  2. ↑ Tingting Wang et al., "Fractional Gray–Scott model: Well-posedness, discretization, and simulations, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering", Volume 347, 2019, pp. 1030-1049, ISSN 0045-7825, https://doi.org/10.1016/j.cma.2019.01.002.
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