Modelo de Levins

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O Modelo de Levins é um modelo extremamente simples, para uma única população. Para compreender o modelo é necessário compreender o que é metapopulação.

Metapopulação é uma população em que os indivíduos estão espacialmente distribuídos no habitat em 2 ou mais subpopulações. Como motivação para a incorporação deste conceito, podemos citar que atividades humanas e desastres naturais muitas vezes causam a fragmentação de um grande habitat em fragmentos menores, levando a uma consequente divisão de uma população em subpopulações, ou seja, a se tornar uma metapopulação. Por este emotivo, a dinâmica de metapopulações é considerada uma importante ferramenta em biologia conversativa.

Na metapopulação, cada população em um fragmento é considerado uma subpopulação, e o deslocamento das subpopulações entre um fragmento ou outro, assim como uma possível troca de indivíduos entre uma subpopulação e outra é o que é chamado de dinâmica de metapopulações. O conceito de metapopulações foi introduzido em 1969 baseado em uma população no qual os indivíduos se reproduzem e morrem em um fragmento local do habitat, e sua prole se dispersa para outros fragmentos.

A aproximação mais popular no estudo da dinâmica de metapopulações é o modelo de Levins. O modelo de Levins tem como principal hipótese:

• Todas as populações locais tem um risco significativo de extinção: o equilíbrio estocástico ocorre no equilíbrio entre extinções locais e colonizações de fragmentos do habitat disponíveis.

É importante destacar que a distância entre os fragmentos e a configuração da espacial do habitat não está incluída no modelo de Levins, pois ele não é um modelo espacialmente explícito, porém são fatores que afetam a dinâmica de populações. O modelo por sua vez, assume:

• A metapopulação existe em um habitat homogêneo dividido em subpopulações;
• Os jovens dispersam aleatoriamente no habitat.

Então a variação da proporção de fragmentos ocupados por uma espécie no modelo de Levins é dado por:

$${\frac {dp}{dt}}=c\left(h-p\right)p-ep$$

Onde :

• ${\textstyle h:}$ Fragmentos totais no habitat;
• ${\textstyle p:}$ fragmentos ocupados pela espécie:
  • Então ${\textstyle \left(h-p\right)}$ é a quantidade de fragmentos disponíveis.
• ${\textstyle c}$: taxa de colonização;
• ${\textstyle e}$: taxa de extinção.

Então o primeiro termo se relaciona ao aumento da população devido colonização e o segundo termo se refere ao decréscimo na população devido a extinção local. O primeiro ponto de equilíbrio que temos é obviamente a própria origem. Linearizando utilizando a derivada como visto em Linearização de sistemas de equações não-lineares:

$${\frac {d{\dot {p}}}{dp}}|_{p=0}=\left(ch-2pc-e\right)|_{p=0}=ch-e$$

Então o sistema linearizado próximo a origem é simplesmente:

$${\dot {p}}=\left(ch-e\right)p$$

Então lembrando de ${\dot {\boldsymbol {x}}}=A{\boldsymbol {x}}$ , $A$ tem um único elemento que é o seu próprio o autovalor. Logo é um ponto de estabilidade se $ch<e$. O segundo ponto de equilíbrio é quando $p_{0}={\frac {\left(ch-e\right)}{c}}$. Linearizando o sistema na sua vizinhança:

$${\begin{aligned}{\frac {d{\dot {p}}}{dp}}|_{p=p_{0}}=&ch-2{\frac {c\left(ch-e\right)}{c}}-e\\=&ch-2ch+2e-e\\=&e-ch\end{aligned}}$$

Então:

$${\dot {p}}=\left(e-ch\right)p$$

Ou seja, agora o ponto é estável se $ch>e$. Podemos sintetizar dizendo que se $ch<e$ a espécie é extinta e se $ch>e$ então a estabilidade é atingida com a sobrevivência da espécie. Como havíamos adiantado, o equilíbrio depende de uma relação entre a colonização e a exttinção.

Principais materiais utilizados

1. Metapopulation Dynamics - Levins Model (Universidade Amrita Vishwa Vidyapeetham)

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