Equação de Cahn-Hilliard

Grupo: Arthur Dornelles, Bruno Zanette, Gabriel De David, Guilherme Hoss

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard, que descreve o processo de decomposição spinodal de uma mistura binária, utilizando o método FTCS (Forward Time Centered Space).

Decomposição Espinodal

Decomposição espinodal é o nome dado ao processo no qual uma pequena perturbação de um sistema faz com que, uma fase homogênea termodinamicamente instável, diminua sua energia e separe-se espontaneamente em duas outras fases coexistentes, esse é um processo que ocorre sem nucleação, ou seja, é instantâneo. Ela é observada, por exemplo, em misturas de metais ou polímeros e pode ser modelada pela equação de Cahn-Hilliard.

A Equação de Cahn-Hilliard

A equação de Cahn-Hilliard descreve o processo de decomposição espinodal de uma mistura binária. Em outras palavras, é uma equação que descreve o processo de separação de fase entre dois componentes de um fluido binário que se separam de maneira espontânea. Consideraremos - de início - uma mistura binária de dois componentes A e B descritas pelas concentrações dos fluidos $c_{a}(x,t)$ e $c_{b}(x,t)$, respectivamente. Além disso, podemos considerar que - para uma mistura binária - $c_{a}(x,t)+c_{b}(x,t)=1$ e portanto podemos simplificar para apenas uma concentração $c(x,t)$:

$c_{a}(x,t)=c(x,t),c_{b}(x,t)=1-c(x,t)$

Tendo isso em vista, o fluxo correspondente pode ser determinado como:

$J=-D\nabla (\mu _{B}-\mu _{A})$

Onde $D$ é um coeficiente de mobilidade (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle comprimento^2 / tempo} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_a} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_b} são os potenciais químicos dos respectivos componentes. Em seguida, ao utilizarmos termodinâmica clásisca, podemos expressar a diferença entre os potenciais Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_b - \mu_a} em função da variação de um potencial de energia livre que chamaremos de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Upsilon [c]} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_b - \mu_a = \frac{\delta\Upsilon[c]}{\delta c} }

Utilizando essa equação em conjunto com a equação do fluxo chegamos em:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J = -D\nabla\frac{\delta\Upsilon[c]}{\delta c} }

E, para alcançarmos a equação de Cahn-Hilliard, podemos simplesmente assumir que o sistema conserva as massas, ou seja:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial c(x,t)}{\partial t} = -\nabla . J }

Substituindo J pelo fluxo que encontramos anteriormente temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial c(x,t)}{\partial t} = D\nabla^2\frac{\delta\Upsilon[c]}{\delta c} }

A energia livre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Upsilon [c]} tipicamente escolhida para a equação é:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle }

Método FTCS (Forward Time Centered Space)

O FTCS é um método numérico utilizado para resolver equações diferenciais parciais, tais como a difusão do calor e do transporte de massa, traduzindo, significa "Progressivo no tempo, avançado no espaço". Esse método pode ser utilizado em sua forma implícita ou explícita que estão descritas abaixo.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\to\Delta t}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j\to\Delta x}

FTCS Explicito

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}\to \frac{f_{j}^{n+1}-f_{j}^{n}}{\Delta t}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}\to \frac{f_{j-1}^{n}-2 f_{j}^{n} + f_{j+1}^n}{\Delta x^2}}

Para difusão:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_j^{n+1}= f_j^{n} + \frac{D\Delta t}{(\Delta x)^2} (f_{j-1}^{n} - 2f_j^{n} + f_{j+1}^{n})}

FTCS Implicito (BTCS)

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}\to \frac{f_{j}^{n}-f_{j}^{n-1}}{\Delta t}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}\to \frac{f_{j-1}^{n}-2 f_{j}^{n} + f_{j+1}^n}{\Delta x^2}}

Para difusão:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_j^{n+1}= f_j^{n} + \frac{D\Delta t}{(\Delta x)^2} (f_{j-1}^{n+1} - 2f_j^{n+1} + f_{j+1}^{n+1})}

Resolução do Cahn-Hilliard Equation para FTCS explicito para x somente:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \displaystyle \frac{\partial c}{\partial t} = D\nabla^{2}(c^{3}-c-\gamma^2\nabla^{2}c)}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \displaystyle \frac{c_{j}^{n+1}-c_{j}^{n}}{\Delta t} = D\displaystyle \frac{\partial ^2 }{\partial x^2}(c^3 - c - \gamma^2 \displaystyle \frac{\partial ^2 c}{\partial x^2})}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \displaystyle \frac{c_{j}^{n+1}-c_{j}^{n}}{\Delta t} = D\frac{u_{j-1}^n-2u_j^n + u_{j+1}^n}{(\Delta x)^2}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \displaystyle \frac{c_{j}^{n+1}-c_{j}^{n}}{\Delta t} = D\left(\frac{(c_{j-1}^n)^3-2(c_j^n)^3 + (c_{j+1}^n)^3}{(\Delta x)^2} - \frac{c_{j-1}^n-2 c_i^n + c_{j+1}^n}{(\Delta x)^2} - \gamma^2\frac{c_{j-2}^n-4c_{j-1}^n + 6c_{j}^n -4c_{j+1}^n + c_{j+2}^n}{(\Delta x)^4}\right)}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_{j}^{n+1} = D\Delta t \left (\frac{(c_{j-1}^n)^3-2(c_i^n)^3 + (c_{j+1}^n)^3}{(\Delta x)^2} - \frac{c_{j-1}^n-2 c_j^n + c_{j+1}^n}{(\Delta x)^2} - \gamma^2\frac{c_{j-2}^n-4c_{j-1}^n + 6c_{j}^n -4c_{j+1}^n + c_{j+2}^n}{(\Delta x)^4} \right) + c_j^n}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_{j}^{n+1} = \frac{D\Delta t}{(\Delta x)^2} \left ((c_{j-1}^n)^3-2(c_i^n)^3 + (c_{j+1}^n)^3 - {c_{j-1}^n-2 c_j^n + c_{j+1}^n} - \gamma^2\frac{c_{j-2}^n-4c_{j-1}^n + 6c_{j}^n -4c_{j+1}^n + c_{j+2}^n}{(\Delta x)^2} \right) + c_j^n }