Grupo - Modelo de Szabó

Integrante do grupo: Edson Mateus Signor (282004)

Introdução

Vemos corriqueiramente exemplos de movimentos coletivos na natureza como: cardume de peixes, bando de pássaros, células, etc. SZABÓ et al (2006) criam um modelo com a finalidade de reproduzir tais comportamentos para queratócitos (células teciduais de cicatrização de feridas nas escamas de peixes). O diferencial deste modelo perante os outros é o fato de usar partículas autopropulsadas com uma interação intercelular de curto alcance muito simples. O objetivo é a partir deste modelo visualizar uma transição de fase cinética no movimento dos queratócitos, para isso definimos o chamado parâmetro de ordem, o qual mede quão ordenado está o sistema, e variamos o valor de ruído presente na representação da locomoção natural das células.

Experimento

Em SZABÓ et al (2006) realizou-se um experimento com uma grande quantidade de células de tecido (queratócitos) a fim de visualizar a migração coletiva. À medida que as células migratórias aumentam, notou-se uma transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado.

Gráfico 1: Migração coletiva de queratócitos para diferentes densidades.

Observa-se no vídeo do grupo que para densidades pequenas as células apresentam um movimento aparentemente aleatório, já para uma densidade intermediária há a formação de pequenos clusters, porém não seguem um sentido de movimento em comum. Entretanto para uma alta densidade o movimento torna-se coletivo todos os queratócitos seguindo na mesma direção. Além disso, realizaram medidas experimentais do parâmetro de ordem médio do sistema para vários diferentes valores de densidades de células, a partir disso chegaram ao seguinte resultado:

Gráfico 2: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.

Assim há mais uma evidência para a transição de fase cinética de um estado desordenado para um estado ordenado. Diante disso o modelo a partir de forças atrativas-repulsivas de curto alcance é suficiente para organizar um montante de células em um movimento coerente.

O Modelo

O modelo de Szabó foi construído a fim de interpretar os resultados experimentais e seu comportamento. O modelo para as queratócitos individualmente é baseado em células autopropulsadas, onde suas velocidades são constantes numa direção bem definida. Para o ruído da locomoção das células considera-se um ruído branco na direção da autopropulsão. Além disso, considera-se para a interação intercelular forças de curto alcance, onde o movimento coletivo dos queratócitos emerge partir delas. Considerando o sistema bi-dimensional descrevemos o movimento das N células com um movimento amortecido, logo:

${\frac {d{\textbf {r}}_{i}(t)}{dt}}=v_{0}{\textbf {n}}_{i}(t)+\mu \sum _{j=1}^{N}{\textbf {F}}({\textbf {r}}_{i},{\textbf {r}}_{j})$  

Cada célula com mobilidade $\mu$ segue na direção da autopropulsão ${\textbf {n}}_{i}(t)$ caso não sofra a ação das forças intercelulares.

Cálculo da autopropulsão

A direção de ${\textbf {n}}_{i}(t)$ é dado pelo ângulo $\theta _{i}^{n}(t)$, mostrado na figura abaixo.

Gráfico 3: Esquematização das células de queratócitos para o modelo de Szabó.

Assim, como a velocidade ${\textbf {v}}_{i}(t)$ das células tentam ajustar sua direção (dado pelo ângulo $\phi _{i}^{n}(t)$) com a de ${\textbf {n}}_{i}(t)$. Então atribuímos a ela uma força restauradora, caracterizada pela equação diferencial:

${\frac {d\theta _{i}^{n}(t)}{dt}}={\frac {(\theta _{i}^{n}(t)-\phi _{i}^{n}(t))}{\tau }}+\xi$  

$\tau$ é o tempo de relaxação e $\xi$ é o ruído branco gaussiano da autopropulsão. Usando a fórmula do produto vetorial entre ${\textbf {v}}_{i}(t)$ e ${\textbf {n}}_{i}(t)$ :

$\sin \left({\theta _{i}^{n}(t)-\phi _{i}^{n}(t)}\right)={\textbf {n}}_{i}(t){\frac {{\textbf {v}}_{i}(t_{k})}{|{\textbf {v}}_{i}(t_{k})|}}$  

Chegamos, assim, na seguinte expressão para o ângulo $\theta _{i}^{n}(t)$:

${\frac {d\theta _{i}^{n}(t)}{dt}}={\frac {1}{\tau }}arcsin\left[\left({\textbf {n}}_{i}(t){\frac {{\textbf {v}}_{i}(t_{k})}{|{\textbf {v}}_{i}(t_{k})|}}\right)\cdot {\textbf {e}}_{z}\right]+\xi$  

Onde ${\textbf {e}}_{z}$ é o vetor unitário perpendicular ao plano de movimento dos queratócitos. Deste modo, para atualizarmos o valor de $n_{i}(t)$ basta utilizarmos a seguinte expressão:

${\textbf {n}}_{i}(t)=\cos {\theta _{i}^{n}(t)}{\hat {\textbf {x}}}+\sin {\theta _{i}^{n}(t)}{\hat {\textbf {y}}}$  

Cálculo das forças intercelulares

As forças entre os queratócitos são funções que dependem apenas das distâncias $d_{ij}$ entre os centros de massa de cada um. Os dois principais critérios para a elaboração das forças foram: (i) As células devem ter um volume bem definido e apenas interagirem com os vizinhos mais próximos e (ii) para um certo valor de $d_{ij}$ as células não devem mais interagirem. Assim considerou-se os queratócitos com um volume de raio $R_{0}/2$, onde sofrem uma força repulsiva até uma distância $R_{eq}$, uma força atrativa entre as distâncias $R_{eq}$ e $R_{0}$ e zero para maiores que $R_{0}$. Então temos a seguinte forma:

${\textbf {F}}({\textbf {r}}_{i},{\textbf {r}}_{j})={\textbf {e}}_{ij}{\begin{cases}F_{rep}{\frac {d_{ij}-R_{eq}}{R_{eq}}},\quad d_{ij}<R_{eq}\\F_{adh}{\frac {d_{ij}-R_{eq}}{R_{0}-Re_{eq}}},\;\;R_{eq}\leq d_{ij}\leq R_{0}\\0,\quad \quad \quad \quad \quad \;d_{ij}>R_{0}\\\end{cases}}$  

Onde ${\textbf {e}}_{ij}={\frac {{\textbf {r}}_{i}-{\textbf {r}}_{j}}{|{\textbf {r}}_{i}-{\textbf {r}}_{j}|}}$, $d_{ij}=|{\textbf {r}}_{i}-{\textbf {r}}_{j}|$, $F_{rep}$ é o máximo valor da força repulsiva para $d_{ij}=0$ e $F_{adh}$ é o máximo valor da força atrativa para $d_{ij}=R_{0}$ (Como pode ser visto na figura 4).

Gráfico 4: Gráfico das forças intercelulares.

Com isso a dinâmica dos queratócitos está completa.

Resultados

Finalizado a dinâmica das células utilizou-se um programa em Python para simular os queratócitos para três diferentes valores de ruído. Porque além de apresentar uma transição de fase cinética variando a densidade (Como mostrado no experimento), também há uma transição variando a intensidade do ruído, ou seja, a potência natural da autopropulsão. Com isso, dado o programa ${\it {Simulacao\;dos\;queratocitos\;}}$ obteve-se as seguintes simulações:

Gráfico 5: Simulação dos queratocitos para um ruído baixo.

Gráfico 6: Simulação dos queratocitos para um ruído intermediário

Gráfico 7: Simulação dos queratocitos para um ruído alto

Parâmetro de Ordem

Para visualizar a transição de fase cinética definiu-se um parâmetro de ordem $V$ onde é definido da seguinte maneira:

${\frac {d{\textbf {r}}_{i}(t)}{dt}}=v_{0}{\textbf {n}}_{i}(t)+\mu \sum _{j=1}^{N}{\textbf {F}}({\textbf {r}}_{i},{\textbf {r}}_{j})$  

${\overline {V}}=\langle V\rangle _{t_{k}}$  

Neste parâmetro queremos basicamente medir o quão desordenado está o sistema. Então a ideia é somar vetorialmente as velocidades de cada célula - dividida pelos seus respectivos módulos, pois só nos interessa a direção - e normalizamos pela quantidade de células. Além disso, ainda se faz uma média temporal a fim de melhorar ainda mais a medida. Tal tipo de parâmetro foi definido porque, por exemplo, se o sistema está em um estado dito desordenado esperamos os queratócitos vagando em direção aparentemente aleatórias, logo se somarmos as velocidades a resultante será um vetor nulo, e o valor de ${\overline {V}}$ tenderá a zero. Já quando o sistema estiver um estado dito ordenado, as células estarão em um movimento coletivo, ou seja, o módulo da velocidade resultante será diferente de zero, por conseguinte, o valor de ${\overline {V}}$ tenderá a 1.

Resultado do Parâmetro de ordem

Antes de calcular o parâmetro ${\overline {V}}$ fazendo a média temporal, temos que observar o gráfico da evolução temporal de ${\overline {V}}$ (fazendo uso do programa em Python Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \it{Evolucao \;temporal\; do \;parâmetro \;de \;ordem\;}} ):

Gráfico 8: Gráfico do parâmetro de ordem médio variando a densidade de células de queratócitos.

Nota-se que há um transiente, com isso então para realizar o cálculo da média apenas utiliza-se os valores de ${\overline {V}}$ para a cima de 50 interações a fim de desprezar o transiente e obter uma melhor média. Feito isto, com um outro programa em Python ${\it {Transicao\;de\;fase\;}}$ temos o resultado obtido a partir das simulações:

Assim, nota-se que se obteve um gráfico característico de uma transição de fase confirmando o que havíamos esperado.

Códigos

Modelo de Szabó - Simulação dos queratócitos

Modelo de Szabó - Evolução temporal do parâmetro de ordem

Modelo de Szabó - Transição de fase