Exibir código-fonte para Discretização x Leapfrog

A discretização de segunda ordem da equação da onda é dada por:

<math>\frac{U_i^{n+1}-2U_i^n+U_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} = v^2 \frac{U_{i+1}^n-2U_i^n+U_{i-1}^n}{(\Delta x)^2}</math>

e pode ser reescrita para <math>U_i^{n+1}</math> como:

<math>U_i^{n+1} = 2(1-r^2)U_i^n + r^2[U_{i+1}^n+U_{i-1}^n]-U_i^{n-1},</math>

onde <math>r = v \frac{\Delta t}{\Delta x}.</math>

Utilizando as equações de <math>s</math> e <math>k</math> obtidas da dedução do método de Leapfrog, podemos escrever:

<math>U^{n+1}_{i} = s^{n+\frac{1}{2}}_i \Delta t + U^n_i\qquad (1),</math>

<math>
s_{i}^{n-\frac{1}{2}} = \frac{U_{i}^{n}-U_i^{n-1}}{\Delta t},\qquad (2)
</math>

<math>
k_{i-\frac{1}{2}}^n = v \frac{U_{i}^n-U_{i-1}^n}{\Delta x}, \qquad (3)
</math>

<math>
k_{i+\frac{1}{2}}^n = v \frac{U_{i+1}^n-U_i^n}{\Delta x}\qquad (4)
</math>

e

<math>
s_i^{n+\frac{1}{2}} = s_{i}^{n-\frac{1}{2}}+r(k_{i+\frac{1}{2}}^{n}-k_{i-\frac{1}{2}}^{n}). \qquad (5)
</math>

Substituindo as equações (2), (3) e (4) em (5), obtemos:

<math>
s_i^{n+\frac{1}{2}} = \frac{U_{i}^{n}-U_i^{n-1}}{\Delta t} + \frac{v^2\Delta t}{\Delta x}(U^n_{i+1}+U^n_{i-1}-2U^n_i).\qquad (6)
</math>

Por fim, substituindo a equação (6) na equação (1), obtemos

<math> U^{n+1}_{i} = U^n_i - U_ i^{n+1} + \frac{v^2\Delta t^2}{\Delta x^2}(U^n_{i+1}+U^n_{i-1}-2U^n_i)+U^n_i,</math>

de onde podemos obter a mesma expressão que a discretização de segunda ordem da equação da onda nos dá:

<math>U_i^{n+1} = 2(1-r^2)U_i^n + r^2[U_{i+1}^n+U_{i-1}^n]-U_i^{n-1}.</math>