Transição de fase em dinâmicas de avaliação

Falência Coletiva de Empresas e Transição de fase em dinâmicas de avaliação

Introdução

Existem muitos riscos na atividade bancária. Neste trabalho foi investigado uma Dinâmica usada para estudar estes riscos. Poder lidar com isso é importante para que a economia ao todo não seja afetada quando os piores cenários aconteçam. Um deles é o risco de Moratórias (Defaults). Uma moratória é definida como um estado em que um banco determina que um devedor não é mais capaz de pagar uma dívida sem com que o banco tome outras ações (p. e. estender o prazo de pagamento). Com isso em mente, um banco sempre precisa ter uma estimativa das suas perdas dado uma moratória para cada entidade capaz de gerar uma dívida . Uma dessa entidades são empresas. Porém, empresas não são entidades independentes. Elas tem relações com outras empresas e isso pode torná-las dependentes uma das outras. Baseado em o quão forte for essa dependência, uma moratória em uma empresa pode levar a uma moratória em outra. Duas empresas que dependem do produto uma outra se veem em uma situação que se caso qualquer uma delas tenha dificuldade financeira, a outra sentirá também e, no pior dos casos, pode acabar com dívidas assim como a sua parceira. Isso é chamado de moratórias em conjunto ou falência coletiva.

Dependências podem surgir de fontes diferentes e nem sempre serão positivas. Empresas podem ter uma parceria de trocas, onde uma depende do que outra produz e a que produz depende da compra da outra. Essa dependência também pode ser indireta, na forma de ambas dependerem de um mesmo recurso. Como ambas usam a mesma matéria prima, caso algo aconteça com a mesma, ambas serão afetadas. Uma competição entre empresas também é uma dependência. A diferença é que quando uma empresa for afetada de forma negativa, a outra será afetada de forma positiva e vice-versa.

Nesse trabalho foi utilizada uma dinâmica simples para identificar essas moratórias. Isso foi feito simulando essa interação entre empresas e criando uma avaliação da situação de cada uma delas. As mudanças nessas avaliações vão vir de duas fontes. A primeira será uma Dinâmica Individual de uma firma, isto é, o estado econômico da mesma e como ela age em relação a isso. A segunda fonte será uma Dinâmica Coletiva das interações entre as empresas semelhante ao Modelo de Potts. Com uma dinâmica desse tipo, veremos duas fases bem definidas no número de moratórias.

Modelo

A condição financeira de uma empresa será descrita por uma variável R com valores discretos 0, 1, …, $R_{max}$. Essa medida de avaliação financeira vai nos dizer que quando R = 0, teremos uma moratória. R é modelado pela Eq. (1).

$R(t)=R(t-1)+s(t)+\eta (R(t-1),s(t))$

Essa avaliação dependerá do seu valor anterior e em cada passo, ela só vai mudar de um em um, pois essa variável $s(t)$ vai ser -1, 0 ou 1. Ou seja, só é possível diminuir em um o R(t) de uma empresa, ou aumenta-lo em 1. O $\eta$ estará modelando as condições de fronteira, já que o espaço dos R's é limitado. A fronteira R = 0 (Moratória) é absorvente, pois uma empresa não irá se recuperar neste modelo. Já o limite superior, ou seja, $R_{max+1}$ é refletivo, pois não se pode ir além. Isto será modelado com $\eta (R,s)=-s$ se R=0, ou $\eta (R,s)=-1$ se $R=R_{max}$ e $s=1$, ou $\eta (R,s)=0$ para os outros casos.

$P(s_{i}|s_{1},...,s_{i-1},s_{i+1},...,s_{N},R_{i})={\frac {1}{Z}}exp(\sum _{j\neq i}J_{ij}\delta (s_{i},s_{j})+f(R_{i},s_{i}))$

A função s(t) é semelhante aos spins de partículas para um Modelo de Potts com q = 3. Para N empresas, definiremos uma probabilidade de uma variável $s_{i}$ de uma empresa $i$ mudar de estado no instante t. Isto é, será uma probabilidade condicional, onde iremos supor uma transição e analisar a probabilidade disso ocorrer no tempo seguinte, baseado em como o sistema está agora e repetir isso para todas as possíveis transições, vide Eq. (2). Tudo antes da barra em (2) é em $t+1$ e tudo depois da barra é em $t$. Ou seja, assumiremos que em $t+1$, $s_{i}=-1$. Calculando $P(s_{i}=-1|s_{1},s_{2},...)$ teremos a probabilidade disso acontecer, analisando em especial o Delta de Kronecker. Ele só será não nulo com os $s_{j}$ que estão no mesmo estado, ou seja, estamos contando quantos estados são iguais ao $s_{i}$ que foi suposto. O termo $J_{ij}$ será uma matriz que vai modelar a interação entre as empresas, ou a dependência entre i e j. Cada valor nesta matriz é Gaussiano (Eq. 3) com média $J_{0}$ e desvio $\sigma _{J}$. Além disso Z será uma constante de normalização, para que Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle P(s_i = -1 | s_1, …) + P(s_i = 0 | s_1, …) + P(s_i = 1 | s_1, …) = 1} e $f(R_{i},s_{i})$ será o termo que vai modelar a dinâmica interna da empresa (Veremos o caso $f=0$ e o caso $f\neq 0$). Com isso feito, teremos a possibilidade do nodo $s_{i}$ ir para -1 em $t+1$. Estenderemos isso para $P(s_{i}=0|s_{1},...)$ e $P(s_{i}=1|s_{1},...)$ e teremos todas as possibilidades de transição de $s_{i}$ em $t+1$. Basta agora repetir isso para as N empresas e escolher aleatoriamente o destino de cada nodo baseado nessas probabilidades obtidas.

Os valores $J_{ij}$ podem ser tanto positivos quanto negativos. Quando $J_{ij}>0$, haverá uma interação positiva entre duas empresas, ou uma cooperação. Essa cooperação pode ser na forma de uma relação de compra e troca, ou na dependência de mesmos recursos. Se um dos nodos tiver algum problema financeiro, ele terá o seu capital afetado e logo diminuirá os lucros dos seus parceiros. Uma mudança em i causará uma mudança em j na mesma direção. Caso $J_{ij}<0$, haverá uma concorrência entre i e j. Uma mudança em i causará uma mudança em j na direção oposta.

$P(J_{ij})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma _{J}^{2}}}}exp(-{\frac {(J_{ij}-J_{0})^{2}}{2\sigma _{J}^{2}}})$

Definiremos também o número de moratórias $ND$ (Number of Defaults). Sabemos que há uma moratória quando $R=0$, então $ND$ será quantos $R_{i}$ nulos teremos nas N empresas após toda uma simulação. Mas, como $J_{ij}$ será um valor diferente de simulação para simulação e isso levará a valores diferentes de $ND$, iremos definir uma média de $ND$ como $<ND>$. Na equação abaixo, K é o número de simulações feitas e $ND_{k}$ é o $ND$ de uma específica simulação.

$<ND>={\frac {1}{K}}\sum _{k=1}^{K}ND_{k}$