Método dos Elementos Finitos - Equação do Calor

De Física Computacional
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Introdução

O Método dos Elementos Finitos (FEM) é uma ferramenta numérica amplamente utilizada na resolução de problemas de engenharia e física que envolvem equações diferenciais parciais.

Dentre suas principais vantagens, o FEM permite abordar problemas complexos, mesmo em situações com geometrias irregulares, condições de contorno variadas e materiais com propriedades heterogêneas.

Neste trabalho, utilizamos o FEM para estudar a equação do calor, que descreve a distribuição de temperatura em um meio ao longo do tempo e do espaço. A escolha da equação do calor em uma dimensão se deve à existência de uma solução analítica exata, o que possibilita validar os resultados numéricos. Além disso, o método pode ser facilmente generalizado para problemas em dimensões superiores e configurações mais complexas, demonstrando sua versatilidade e eficácia em diferentes aplicações.

Equação do Calor (1D)

A equação do calor em 1D descreve a evolução da temperatura Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(x,t)} ao longo do tempo em uma barra unidimensional, sujeita a condições de contorno e a uma difusão térmica (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} ). A equação diferencial que governa o comportamento do sistema é dada por:

Forma Forte

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}}

Condição Inicial

A condição inicial escolhida em todas as simulações é:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(t=0,x)=sin(\pi x)}


Figura 1: Condição inicial para a equação do calor.

Condição de Contorno

Foram escolhidas as condições de contorno homogêneas de Dirichlet, ou seja, temperatura nula nas extremidades da barra duranto todo o tempo.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(t,x=0)=0=u(t,x=L)}

Solução Analítica

A solução analítica é dada por:[1]

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty b_n e^{-\alpha \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 t} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right),}

Para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L=1} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = 1} e as condições iniciais acima, todos os coeficientes são nulos exceto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_1=1}

Obtemos então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(x, t) = e^{-\pi^2 \alpha t} \sin(\pi x),}

Método dos Elementos Finitos (FEM)

O Método dos Elementos Finitos (FEM, do inglês Finite Element Method) é uma técnica amplamente utilizada para resolver equações diferenciais parciais, como a equação do calor. Para aplicar o FEM à equação do calor em 1D, a barra [0,1] é dividida em um número finito de elementos (intervalos) de comprimento , e as variáveis contínuas são aproximadas por funções de base definidas localmente em cada elemento.

Forma Fraca

Apesar de o problema estar completo na forma forte, que é a mostrada acima, precisamos representá-lo na forma equivalente, chamada forma fraca. A forma fraca é preferível por diversos motivos, sendo um dos principais o fato de que ela não possui derivadas de segunda ordem, possibilitando o uso de funções lineares para fazer a aproximação, que na forma forte teriam essa derivada nula. Para obter a forma fraca a partir da forma forte, deve-se seguir os seguintes passos:

  • Multiplica-se por uma função teste Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} do mesmo espaço de funções definido nos elementos.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}v = \alpha \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}v}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_0^L \frac{\partial u(x,t)}{\partial t} v(x) \, dx = \alpha \int_0^L \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} v(x) \, dx}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_0^1 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} v \, dx = \left[ \frac{\partial u}{\partial x} v \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x} \, dx}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_0^1 \frac{\partial u}{\partial t} v \, dx + \int_0^1 \alpha \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x} \, dx = \left[ \alpha \frac{\partial u}{\partial x} v \right]_0^1}

O lado direito zera devido às condições de contorno

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_0^1 \frac{\partial u}{\partial t} v \, dx + \int_0^1 \alpha \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x} \, dx = 0}

Essa é a forma fraca, mas ainda precisamos discretizá-la tanto no espaço quanto no tempo para aplicar o FEM.

Fenics

O FEniCS (Finite Element Computational Software) é uma plataforma de software de código aberto projetada para resolver problemas numéricos usando o Método dos Elementos Finitos (FEM). Ele é amplamente utilizado para resolver equações diferenciais parciais (EDPs). Na prática, ajuda a discretizar a parte espacial e a resolver o sistema de equações lineares.

Discretização Temporal

Devemos discretizar a parte temporal para obter a forma fraca final para usar o Fenics. Para isso, usaremos o método de Euler Implícito.

Fazemos a aproximação:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u^{t+1} - u^t}{\Delta t}}

Substituindo na forma fraca: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_0^L \frac{u^{t+1} - u^t}{\Delta t} v \, dx + \int_0^L \alpha \frac{\partial u^{t+1}}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x} \, dx = 0}

Multiplicando por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t} : Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_0^L u^{t+1} v \, dx - \int_0^L u^t v \, dx + \Delta t \int_0^L \alpha \frac{\partial u^{t+1}}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x} \, dx = 0}

Reorganizando os termos, temos: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_0^L u^{t+1} v \, dx + \Delta t \int_0^L \alpha \frac{\partial u^{t+1}}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x} \, dx = \int_0^L u^t v \, dx}

Para fazer a implementação no Fenics, devemos escrever na versão mais geral, com dimensão arbitrária, utilizando gradiente e produto escalar:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{\Omega} u^{t+1} v \, d\Omega + \Delta t \int_{\Omega} \alpha \nabla u^{t+1} \cdot \nabla v \, d\Omega = \int_{\Omega} u^t v \, d\Omega} [2]

Resultados

Como esperado pela solução analítica, a partir das condições iniciais e de contorno escolhidas, a amplitude do seno diminui exponencialmente com o tempo


Evolution.gif

O intervalo de tempo escolhido tem grande influência na acurácia do resultado. Nas figuras 3, 4 e 5 são mostradas a solução obtida pelo FEM em comparação com a solução analítica para diferentes instantes de tempo. É possível perceber que a solução, independente do intervalo de tempo (dt) escolhido, é muito boa para tempos curtos. Entretanto, quanto maior o tempo, maior será o erro para dt maiores.

Figura 2: Comparação da solução analítica com a solução do método dos elementos finitos para diferentes intervalos de tempo e mantendo fixo t=0.02.
Figura 3: Comparação da solução analítica com a solução do método dos elementos finitos para diferentes intervalos de tempo e mantendo fixo t=0.05.
Figura 4: Comparação da solução analítica com a solução do método dos elementos finitos para diferentes intervalos de tempo e mantendo fixo t=0.01..
Figura 5: Comparação da solução analítica com a solução do método dos elementos finitos para diferentes intervalos de tempo e mantendo fixo t=0.3.

Alem disso, para demonstrar a influência do número de elementos para a qualidade do resultado, são comparadas nas figuras 6, 7 e 8 a solução analítica com a solução obtida pelo FEM. Para um número de elementos muito pequeno, a curva é uma aproximação grosseira e claramente linear em partes. Quando aumentamos os elementos, entretanto, rapidamente a curva suaviza e obtemos uma ótima aproximação para o resultado analítico. Assim como discutido anteriormente, a aproximação piora com o passar do tempo.

Figura 6: Comparação de diferentes números de elementos (mesh) com a solução analítica, mantendo fixos dt=0.005 e mantendo fixo t=0.02.
Figura 7: Comparação de diferentes números de elementos (mesh) com a solução analítica, mantendo fixos dt=0.005 e mantendo fixo t=0.1.


Figura 8: Comparação de diferentes números de elementos (mesh) com a solução analítica, mantendo fixos dt=0.005 e mantendo fixo t=0.3.

Conclusão

Este trabalho aplicou o Método dos Elementos Finitos (FEM) para resolver a equação do calor unidimensional, utilizando a solução analítica como referência para validar os resultados numéricos. A comparação entre ambas as soluções revelou que o FEM oferece boas aproximações, com precisão que depende da escolha do passo temporal e do número de elementos.

Embora o erro numérico cresça com o tempo, principalmente para passos temporais maiores, o FEM se mostrou eficaz e estável, especialmente quando combinado com o método de Euler Implícito para a discretização temporal. Além disso, a generalização do método para problemas em dimensões superiores ou com geometrias mais complexas destaca sua versatilidade e aplicabilidade em diferentes contextos da engenharia e física, apesar de que talvez fosse necessário aplicar outros métodos de discretização temporal.

Referências

  1. ↑ Douglas, J. (1988). Introduction to partial differential equations (Vol. 2). New York: Academic Press. Chapter 4.
  2. ↑ Fangohr, H., & Logg, A. (2020). Solving partial differential equations in Python (Capítulo 3). Springer.
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