Método Leapfrog
O termo "leapfrog" é utilizado devido aos níveis de tempo presentes na sua derivação, que superam os níveis de tempo no termo derivado do espaço. O método requer que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{n-1}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_n} sejam armazenados para calcular Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{n+1}} .
Dessa forma, em relação à equação de advecção, temos:
Esquema de Matsuno
Primeiramente, os valores aproximados de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_j^{n+1}} serão calculados utilizando o esquema avançado, representado pela equação:
Assim, esses valores aproximados são empregados em um esquema atrasado, o qual
substituindo valores dados pelo esquema avançado, com o subscrito Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} substituído por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i+1} , temos:
# Solução pelo método Leapfrog para equação de advecção
def Leapfrogad(L, tf, v, Nx, Nt):
"""
Parâmetros:
- L: comprimento
- tf: tempo final
- v: velocidade de propagação
- Nx: número de pontos na direção espacial
- Nt: número de pontos na direção temporal
Retorna:
- Matriz com a solução da equação da onda
"""
dx = L / Nx
dt = tf / Nt
r = v * dt / dx
u = np.zeros((Nt, Nx+1))
# Condição inicial: u(x,0) = f(x)
x = np.linspace(0, L, Nx+1)
u[0, :] = 1 - np.cos(x) # Função que descreve a perturbação da onda
# Iteração no tempo
for n in range(0, Nt - 1):
for i in range(0, Nx+1):
# Condições de contorno
ip = i + 1 if i < Nx else 0 # índice i+1 (volta para 0 na borda)
ia = i - 1 if i > 0 else Nx # índice i-1 (volta para Nx na borda)
u[n+1, i] = u[n, i] + (r/2) * (u[n, ip] - u[n, ia]) - (r/2)**2 * (u[n, (ip+1) % (Nx + 1)] - u[n, i] + u[n, (ia-1) % (Nx + 1)])
return u
Ideia
- Se i é igual a Nx, então ip = Nx+1 e (ip+1) % (Nx + 1) se torna (Nx + 2) % (Nx + 1), que é equivalente a 0. Da mesma forma, se i é igual a 0, então ia = -1 e (ia-1) % (Nx + 1) se torna Nx;
- Quando i atinge o valor máximo Nx ou o valor mínimo 0, as expressões (ip+1) % (Nx + 1) e (ia-1) % (Nx + 1) garantem que os índices não ultrapassem os limites da matriz. O operador % (módulo) faz com que o índice retorne ao início (quando excede o limite superior) ou ao final (quando é menor que o limite inferior) da matriz.
# Parâmetros
L = 2*np.pi
tf =1
v = 1 # -1. muda direção de propagação
Nx = 100
Nt = 500
solv5 = Leapfrogad(L, tf, v, Nx, Nt)
listX = np.linspace(0, L, Nx+1)
listT = np.linspace(0, tf, Nt)
X, T = np.meshgrid(listX, listT)
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.pcolormesh(X, T, solv5, cmap='viridis', shading='auto')
plt.colorbar(label='Amplitude(u)')
plt.xlabel('Posição (x)')
plt.ylabel('Tempo (t)')
plt.title('Solução Leapfrog da Equação da advecção (1D)', fontsize=16)
plt.show()
# Teste: Plota todas as curvas amplitude por posição de todos os tempos:
for tt in range(len(listT-1)):
amplitudes_tt = solv5[ tt,:]
plt.plot(listX, amplitudes_tt)
plt.title('Amplitude em Função da Posição')
plt.xlabel('Posição (x)')
plt.ylabel('Amplitude (u)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Como é possível observar ele tem um efeito do amortecimento. Deste modo, o esquema do Matsuno não parece conveniente para resolver a equação da advecção, pois impõe um amortecimento na solução numérica, que não é observada na solução analítica. [Projeto PAE – Bolsista Simone E. Teleginski Ferraz. pg 5]