Investigações posteriores sobre autocorrelação (Gaspar)

Definição

Partimos da definição de autocorrelação de um sistema de agentes em relação ao estado do mesmo sistema em $t=\tau$:

$corr(\tau ,t)={\frac {\sum _{i}^{N}w_{i}(\tau )w_{i}(\tau +t)}{\sum _{i}^{N}w_{i}(\tau )w_{i}(\tau )}}$

sendo $N$ o número de agentes e $w_{i}$ a riqueza do $i$-ésimo agente. Também na forma na forma de produto escalar:

$corr(\tau ,t)={\frac {{\vec {W}}(\tau )\cdot {\vec {W}}(\tau +t)}{{\vec {W}}(\tau )\cdot {\vec {W}}(\tau )}}$

sendo ${\vec {W}}$ o vetor que representa o sistema de agentes.

Autocorrelação para distribuição uniforme entre 0 e 1

Reconhecemos da definição acima que o denominador depende somente de $\tau$. Portanto, é esperado que ao longo da simulação, teremos para cada estado de referência ${\vec {W}}(\tau )$ um denominador diferente, pois a distribuição de renda do sistema vai se alterando. Entretanto, o denominador será sempre o mesmo em $\tau =0$ pois trata-se do estado inicial do sistema, que é uma distribuição uniforme de riqueza entre 0 e 1. Pode-se mostrar que, para uma distribuição uniforme,

$\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}={\frac {N}{3}}$

para $w_{i}=\lbrack 0,1\rbrack$ uniforme.

Caso particular: quando um agente suga toda a riqueza

Seja o $j$-ésimo agente o agente que vai concentrar toda a riqueza. Então,

$\lim _{t\rightarrow \infty }w_{j}(t)=W$

em que $W$ representa a riqueza total do sistema. Como o sistema é conservativo, podemos usar o estado inicial do sistema para obter Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W} de acordo com

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W = \sum_{i=1}^N w_{i}(0) = \frac{N}{2}}

A autocorrelação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t \rightarrow \infty} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau = 0} vale, portanto,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} \left\langle corr(t) \right\rangle = \frac{3}{N} \lim_{t \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^N \left\langle w_{i}(0) w_{i}(t) \right\rangle }

Como a riqueza é concentrada em apenas um agente, sobrevive apenas a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} -ésima parcela da soma, correspondente à riqueza do Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} -ésimo agente:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} \langle corr(t) \rangle= \frac{3}{N} \lim_{t \rightarrow \infty} \langle w_{j}(0) w_{j}(t)\rangle = \frac{3}{N} \langle w_{j}(0) \rangle \lim_{t \rightarrow \infty} w_{j}(t) }

Mas

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle w_{j}(0) \rangle = 1/2}

de modo que

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} \langle corr(t) \rangle = \frac{3}{N} \frac{1}{2} \frac{N}{2} = \frac{3}{4} }

Denominador da autocorrelação em função de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau}

Abaixo, gráficos do denominador em função de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} e de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} (parâmetro de assimetria) para um sistema de 300 agentes (média entre 100 rodadas, ou amostras) para as regras do mínimo e do perdedor. Observe como o denominador não é afetado por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau = 0} .

• Gaspar 2006-08-17-MINIMUM-corr denom-tau(3).jpg

  minimum

• Gaspar 2006-08-17-LOSER-corr denom-tau(3).jpg

  loser

"Anomalias" da autocorrelação

Abaixo, gráficos de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle corr(f,\tau, t)} para um sistema de 300 agentes (média entre 100 rodadas, ou amostras), sendo um gráfico para cada Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} . Para manter os gráficos limpos, eles são apresentados sem legendas.

Informações úteis:

cada gráfico contem 41 curvas de autocorrelação;

cada curva de autocorrelação é traçada em relação aos estados do sistema nos tempos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau = 0, 100, 200, 300, ... , 3900, 4000} ;

observe que, à medida que o sistema se aproxima do estado de equilíbrio, as curvas de autocorrelação se "empacotam" em torno de um certo valor;

observe que, para a regra do perdedor, há um certo tempo durante o qual a autocorrelação é maior do que 1, mas que cai para um valor menor do que 1 ao se aproximar do estado de equilíbrio.

observe que há uma curva de autocorrelação vermelha destacada de todas as outras: é a autocorrelação em relação ao estado inicial (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau = 0} ), cujo valor assintótico visivelmente independe tanto de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} como da regra em questão. Essa é uma anomalia ainda em estudo.

• Gaspar 2006-08-17-MINIMUM-corr-tau-f50.jpg

  minimum, f = 0.50

• Gaspar 2006-08-17-MINIMUM-corr-tau-f40.jpg

  minimum, f = 0.40

• Gaspar 2006-08-17-MINIMUM-corr-tau-f30.jpg

  minimum, f = 0.30

• Gaspar 2006-08-17-MINIMUM-corr-tau-f20.jpg

  minimum, f = 0.20

• Gaspar 2006-08-17-MINIMUM-corr-tau-f10.jpg

  minimum, f = 0.10

• Gaspar 2006-08-17-LOSER-corr-tau-f50.jpg

  loser, f = 0.50

• Gaspar 2006-08-17-LOSER-corr-tau-f40.jpg

  loser, f = 0.40

• Gaspar 2006-08-17-LOSER-corr-tau-f30.jpg

  loser, f = 0.30

• Gaspar 2006-08-17-LOSER-corr-tau-f20.jpg

  loser, f = 0.20

• Gaspar 2006-08-17-LOSER-corr-tau-f10.jpg

  loser, f = 0.10

"Miolo" do programa utilizado para cálculo de autocorrelação

Tendo em vista as anomalias apresentadas acima, apresentamos o pedaço do programa empregado para calcular a autocorrelação. Está sob análise pois, se há alguma real anomalia, deve haver um erro nessa parte do programa.

Breve legenda

  B(agente)            := vetor de $$$ dos agentes 
  B_TAU(agente,tau)    := matriz com estado do sistema para cada tau
  CORR_DENOM(tau)      := vetor com denominadores da autocorrelação para
                          cada tau
  MEAN_CORR(tempo,tau) := matriz com valores de autocorrelação para cada
                          tau e para cada tempo além de tau; no final, é
                          feita uma média entre todas as amostras para
                          obter melhor resolução   
  

Cálculo do denominador no estado inicial:

  CORR_DENOM(0) = DOT_PRODUCT(B,B)
  
  DO j = 1, agents       !!!salva o estado
     B_TAU(j,0) = B(j)   !!!inicial do
  END DO                 !!!sistema
  
  MEAN_CORR(0,0) = MEAN_CORR(0,0) + 1   !!!por def, a correlação
                                        !!!no estado inicial = 1
  ...

Função que calcula autocorrelação:

  corr = 0
  
  DO j = 1, agents
     corr = corr + B(j)*B_TAU(j,k)
  END DO
  
  corr = corr/CORR_DENOM(k)