Discretização x Leapfrog

A discretização de segunda ordem da equação da onda é dada por:

${\frac {U_{i}^{n+1}-2U_{i}^{n}+U_{i}^{n-1}}{(\Delta t)^{2}}}=v^{2}{\frac {U_{i+1}^{n}-2U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}$

e pode ser reescrita para $U_{i}^{n+1}$ como:

$U_{i}^{n+1}=2(1-r^{2})U_{i}^{n}+r^{2}[U_{i+1}^{n}+U_{i-1}^{n}]-U_{i}^{n-1},$

onde $r=v{\frac {\Delta t}{\Delta x}}.$

Utilizando as equações de $s$ e $k$ obtidas da dedução do método de Leapfrog, podemos escrever:

$U_{i}^{n+1}=s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}\Delta t+U_{i}^{n}\qquad (1),$

$s_{i}^{n-{\frac {1}{2}}}={\frac {U_{i}^{n}-U_{i}^{n-1}}{\Delta t}},\qquad (2)$

$k_{i-{\frac {1}{2}}}^{n}=v{\frac {U_{i}^{n}-U_{i-1}^{n}}{\Delta x}},\qquad (3)$

$k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}=v{\frac {U_{i+1}^{n}-U_{i}^{n}}{\Delta x}}\qquad (4)$

e

$s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}=s_{i}^{n-{\frac {1}{2}}}+r(k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}-k_{i-{\frac {1}{2}}}^{n}).\qquad (5)$

Substituindo as equações (2), (3) e (4) em (5), obtemos:

$s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {U_{i}^{n}-U_{i}^{n-1}}{\Delta t}}+{\frac {v^{2}\Delta t}{\Delta x}}(U_{i+1}^{n}+U_{i-1}^{n}-2U_{i}^{n}).\qquad (6)$

Por fim, substituindo a equação (6) na equação (1), obtemos

$U_{i}^{n+1}=U_{i}^{n}-U_{i}^{n+1}+{\frac {v^{2}\Delta t^{2}}{\Delta x^{2}}}(U_{i+1}^{n}+U_{i-1}^{n}-2U_{i}^{n})+U_{i}^{n},$

de onde podemos obter a mesma expressão que a discretização de segunda ordem da equação da onda nos dá:

$U_{i}^{n+1}=2(1-r^{2})U_{i}^{n}+r^{2}[U_{i+1}^{n}+U_{i-1}^{n}]-U_{i}^{n-1}.$