Dedução Leapfrog

Queremos resolver as equações que temos para $k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+1}$:

$k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n+1}=v{\frac {U_{i+1}^{n+1}-U_{i}^{n+1}}{\Delta x}}$

Sabendo que

$k_{i+{\frac {1}{2}}}^{n}=v{\frac {U_{i+1}^{n}-U_{i}^{n}}{\Delta x}},$

e

$s_{i}^{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {U_{i}^{n+1}-U_{i}^{n}}{\Delta t}},$

podemos escrever equações para $U_{i+1}^{n+1}$, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U^{n+1}_{i}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U^{n}_{i+1}} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U^{n+1}_{i+1} = s^{n+\frac{1}{2}}_{i+1}\Delta t + U^{n}_{i+1},\qquad (1)}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U^{n+1}_{i} = s^{n+\frac{1}{2}}_i \Delta t + U^n_i\qquad (2)}

e

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U^{n}_{i+1}= \frac{\Delta x}{v}k^n_{i+\frac{1}{2}} + U^n_i.\qquad (3)}

Substituindo as equações (1) e (2) na equação para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1}} , obtemos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\Delta x}{v}k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1} = (s^{n+\frac{1}{2}}_{i+1}\Delta t + U^{n}_{i+1}) - (s^{n+\frac{1}{2}}_i \Delta t + U^n_i).}

Ao substituirmos a equação (3) nessa última equação obtida, obtemos a equação citada no desenvolvimento do Método de Leapfrog, dada por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\Delta x}{v}k^{n+1}_{i+\frac{1}{2}} = s^{n+\frac{1}{2}}_{i+1}\Delta t + \frac{\Delta x}{v}k^{n}_{i+\frac{1}{2}} + U^n_i - (s^{n+\frac{1}{2}}_i \Delta t + U^n_i).}

E, por fim, dela obtemos a equação para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1} = k_{i+\frac{1}{2}}^n+r(s_{i+1}^{n+\frac{1}{2}}-s_{i}^{n+\frac{1}{2}}), }

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r = \frac{v\Delta t}{\Delta x}} .