Cálculo do valor inicial do índice Gini (Gaspar)

De Física Computacional
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Em muitas simulações, a condição inicial do sistema de agentes é uma distribuição uniforme de riquezas, com valores compreendidos entre 0 e 1. O valor do índice Gini nessas condições é calculado abaixo.

Iniciamos com a definição do índice Gini. Para um sistema composto por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} agentes, temos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G \equiv {1 \over (N-1) \sum_{i=1}^{N} w_i} \sum_{j=1}^{N-1} \sum_{k=j+1}^N \left| w_j - w_k \right| }

Queremos calcular o valor médio de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} quando a distribuição for uniforme, ou seja,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix} \left \langle G \right \rangle &=& \left \langle {1 \over (N-1) \sum_{i=1}^{N} w_i} \sum_{j=1}^{N-1} \sum_{k=j+1}^N \left| w_j - w_k \right| \right \rangle \\ & & \\ & = & {1 \over (N-1) \left \langle \sum_{i=1}^{N} w_i \right \rangle} \left \langle \sum_{j=1}^{N-1} \sum_{k=j+1}^N \left| w_j - w_k \right| \right \rangle \\ & & \\ & = & {1 \over (N-1) \sum_{i=1}^{N} \left \langle w_i \right \rangle} \sum_{j=1}^{N-1} \sum_{k=j+1}^N \left \langle \left| w_j - w_k \right| \right \rangle \\ \end{matrix} }

Temos, portanto, duas médias para calcular. A primeira é a riqueza média dos agentes, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left \langle w_i \right \rangle} , que pode ser intuída pelo fato de que a distribuição inicial de riqueza é uniforme entre 0 e 1. Com isso, é claro que

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left \langle w_i \right \rangle = {1 \over 2}}

A outra, mais trabalhosa, é a média sobre a diferença de riqueza entre todos os pares possíveis de agentes: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left \langle \left| w_j - w_k \right| \right \rangle} .

Lembramos primeiro da definição de valor médio de uma variável aleatória contínua Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \;} sobre o intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left \lbrack 0, 1 \right \rbrack} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left \langle x \right \rangle = \int \limits_{0}^{1} x \, P(x) \, dx}

sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(x) \;} a função densidade de probabilidade associada à variável Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \;} sobre o intervalo. Analogamente,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left \langle x^2 \right \rangle = \int \limits_{0}^{1} x^2 \, P(x) \, dx}

Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y \;} também for uma variável aleatória contínua, teremos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left \langle xy \right \rangle = \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{1} x \, P(x) \, y \, P(y) \, dx \,dy }

Agora, temos que calcular Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left \langle \left| w_j - w_k \right| \right \rangle} , o que implica resolver

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left \langle \left| y - x \right| \right \rangle = \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{1} \left| y - x \right| \, dx \,dy }

Note que como a distribuição inicial de riqueza é uniforme e o intervalo de riqueza é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left \lbrack 0, 1 \right \rbrack} , tanto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(x) \,} como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(y) \,} equivalem à unidade. O problema é que não podemos integrar diretamente o módulo no integrando. Temos que considerar os dois casos possíveis:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left| y - x \right| = \begin{cases} y - x, \; \; \; y > x \\ x - y, \; \; \; y < x \end{cases} }

A integral dupla pode ser resolvida em duas partes, uma para cada caso. Consideremos então o caso Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y > x} . Se a integral em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} "varrer" todo o intervalo, a integral em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} só poderá varrer o pedaço do intervalo entre 0 e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} , pois somente assim satisfaremos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y > x} sempre. Portanto, o primeiro caso conduz a

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \limits_{0}^{1} dy \int \limits_{0}^{y} \left( y - x \right) \, dx = {1 \over 6} }

Usando um raciocínio análogo, reparamos que para o caso Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x > y} , a integral em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} deverá varrer valores suficientemente grandes, que sempre sejam superiores a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} , conduzindo a

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \limits_{0}^{1} dy \int \limits_{y}^{1} \left( x - y \right) \, dx = {1 \over 6} }

Com isso,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left \langle \left| y - x \right| \right \rangle = {1 \over 6} + {1 \over 6} = {1 \over 3} }

Substituindo os resultados obtidos na expressão de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left \langle G \right \rangle \;} , temos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix} \left \langle G \right \rangle & = & {1 \over (N-1) \sum_{i=1}^{N} 1/2} \sum_{j=1}^{N-1} \sum_{k=j+1}^N 1/3 \\ & & \\ & = & {2 \over 3(N-1)N} \sum_{j=1}^{N-1} (N-j) \\ & & \\ & = & {2 \over 3(N-1)N} \left( N \sum_{j=1}^{N-1} - \sum_{j=1}^{N-1} j \right) \\ & & \\ & = & {2 \over 3(N-1)N} \left( N \left( N-1 \right) - {N \left( N-1 \right) \over 2} \right) \\ & & \\ & = & {2 \over 3(N-1)N} \left( {N \left( N-1 \right) \over 2} \right) \\ & & \\ & = & 1/3 \\ \end{matrix} }

Note que usamos a "famosa fórmula" para a soma das bolinhas empilhadas em forma de triângulo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} i = {n \left( n + 1 \right) \over 2}}

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