Cálculo do valor inicial do índice Gini (Gaspar)

Em muitas simulações, a condição inicial do sistema de agentes é uma distribuição uniforme de riquezas, com valores compreendidos entre 0 e 1. O valor do índice Gini nessas condições é calculado abaixo.

Iniciamos com a definição do índice Gini. Para um sistema composto por $N$ agentes, temos

$G\equiv {1 \over (N-1)\sum _{i=1}^{N}w_{i}}\sum _{j=1}^{N-1}\sum _{k=j+1}^{N}\left|w_{j}-w_{k}\right|$

Queremos calcular o valor médio de $G$ quando a distribuição for uniforme, ou seja,

${\begin{matrix}\left\langle G\right\rangle &=&\left\langle {1 \over (N-1)\sum _{i=1}^{N}w_{i}}\sum _{j=1}^{N-1}\sum _{k=j+1}^{N}\left|w_{j}-w_{k}\right|\right\rangle \\&&\\&=&{1 \over (N-1)\left\langle \sum _{i=1}^{N}w_{i}\right\rangle }\left\langle \sum _{j=1}^{N-1}\sum _{k=j+1}^{N}\left|w_{j}-w_{k}\right|\right\rangle \\&&\\&=&{1 \over (N-1)\sum _{i=1}^{N}\left\langle w_{i}\right\rangle }\sum _{j=1}^{N-1}\sum _{k=j+1}^{N}\left\langle \left|w_{j}-w_{k}\right|\right\rangle \\\end{matrix}}$

Temos, portanto, duas médias para calcular. A primeira é a riqueza média dos agentes, $\left\langle w_{i}\right\rangle$, que pode ser intuída pelo fato de que a distribuição inicial de riqueza é uniforme entre 0 e 1. Com isso, é claro que

$\left\langle w_{i}\right\rangle ={1 \over 2}$

A outra, mais trabalhosa, é a média sobre a diferença de riqueza entre todos os pares possíveis de agentes: $\left\langle \left|w_{j}-w_{k}\right|\right\rangle$.

Lembramos primeiro da definição de valor médio de uma variável aleatória contínua $x\;$ sobre o intervalo $\left\lbrack 0,1\right\rbrack$:

$\left\langle x\right\rangle =\int \limits _{0}^{1}x\,P(x)\,dx$

sendo $P(x)\;$ a função densidade de probabilidade associada à variável $x\;$ sobre o intervalo. Analogamente,

$\left\langle x^{2}\right\rangle =\int \limits _{0}^{1}x^{2}\,P(x)\,dx$

Se $y\;$ também for uma variável aleatória contínua, teremos

$\left\langle xy\right\rangle =\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}x\,P(x)\,y\,P(y)\,dx\,dy$

Agora, temos que calcular $\left\langle \left|w_{j}-w_{k}\right|\right\rangle$, o que implica resolver

$\left\langle \left|y-x\right|\right\rangle =\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}\left|y-x\right|\,dx\,dy$

Note que como a distribuição inicial de riqueza é uniforme e o intervalo de riqueza é $\left\lbrack 0,1\right\rbrack$, tanto $P(x)\,$ como $P(y)\,$ equivalem à unidade. O problema é que não podemos integrar diretamente o módulo no integrando. Temos que considerar os dois casos possíveis:

$\left|y-x\right|={\begin{cases}y-x,\;\;\;y>x\\x-y,\;\;\;y<x\end{cases}}$

A integral dupla pode ser resolvida em duas partes, uma para cada caso. Consideremos então o caso $y>x$. Se a integral em $y$ "varrer" todo o intervalo, a integral em $x$ só poderá varrer o pedaço do intervalo entre 0 e $y$, pois somente assim satisfaremos $y>x$ sempre. Portanto, o primeiro caso conduz a

$\int \limits _{0}^{1}dy\int \limits _{0}^{y}\left(y-x\right)\,dx={1 \over 6}$

Usando um raciocínio análogo, reparamos que para o caso $x>y$, a integral em $x$ deverá varrer valores suficientemente grandes, que sempre sejam superiores a $y$, conduzindo a

$\int \limits _{0}^{1}dy\int \limits _{y}^{1}\left(x-y\right)\,dx={1 \over 6}$

Com isso,

$\left\langle \left|y-x\right|\right\rangle ={1 \over 6}+{1 \over 6}={1 \over 3}$

Substituindo os resultados obtidos na expressão de $\left\langle G\right\rangle \;$, temos

${\begin{matrix}\left\langle G\right\rangle &=&{1 \over (N-1)\sum _{i=1}^{N}1/2}\sum _{j=1}^{N-1}\sum _{k=j+1}^{N}1/3\\&&\\&=&{2 \over 3(N-1)N}\sum _{j=1}^{N-1}(N-j)\\&&\\&=&{2 \over 3(N-1)N}\left(N\sum _{j=1}^{N-1}-\sum _{j=1}^{N-1}j\right)\\&&\\&=&{2 \over 3(N-1)N}\left(N\left(N-1\right)-{N\left(N-1\right) \over 2}\right)\\&&\\&=&{2 \over 3(N-1)N}\left({N\left(N-1\right) \over 2}\right)\\&&\\&=&1/3\\\end{matrix}}$

Note que usamos a "famosa fórmula" para a soma das bolinhas empilhadas em forma de triângulo:

$\sum _{i=1}^{n}i={n\left(n+1\right) \over 2}$