Cálculo do valor inicial do índice Gini (Gaspar)

De Física Computacional
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Em muitas simulações, a condição inicial do sistema de agentes é uma distribuição uniforme de riquezas, com valores compreendidos entre 0 e 1. O valor do índice Gini nessas condições é calculado abaixo.

Iniciamos com a definição do índice Gini. Para um sistema composto por agentes, temos

Queremos calcular o valor médio de quando a distribuição for uniforme, ou seja,

Temos, portanto, duas médias para calcular. A primeira é a riqueza média dos agentes, , que pode ser intuída pelo fato de que a distribuição inicial de riqueza é uniforme entre 0 e 1. Com isso, é claro que

A outra, mais trabalhosa, é a média sobre a diferença de riqueza entre todos os pares possíveis de agentes: .

Lembramos primeiro da definição de valor médio de uma variável aleatória contínua sobre o intervalo :

sendo a função densidade de probabilidade associada à variável sobre o intervalo. Analogamente,

Se também for uma variável aleatória contínua, teremos

Agora, temos que calcular , o que implica resolver

Note que como a distribuição inicial de riqueza é uniforme e o intervalo de riqueza é , tanto como equivalem à unidade. O problema é que não podemos integrar diretamente o módulo no integrando. Temos que considerar os dois casos possíveis:

A integral dupla pode ser resolvida em duas partes, uma para cada caso. Consideremos então o caso . Se a integral em "varrer" todo o intervalo, a integral em só poderá varrer o pedaço do intervalo entre 0 e , pois somente assim satisfaremos sempre. Portanto, o primeiro caso conduz a

Usando um raciocínio análogo, reparamos que para o caso , a integral em deverá varrer valores suficientemente grandes, que sempre sejam superiores a , conduzindo a

Com isso,

Substituindo os resultados obtidos na expressão de , temos

Note que usamos a "famosa fórmula" para a soma das bolinhas empilhadas em forma de triângulo: