Atrito de dímero em 2D
Comportamento de um dímero num potencial periódico bidimensional com dissipação e força externa --Trabalho de Mestrado de Italo Neide
Objetivo desse tópico é expressar os resultados obtidos decorrentes do trabalho sobre o comportamento do dímero. A seguir diversos passos que foram desenvolvidos e que estão sendo aperfeiçoados para o estudo do conteúdo proposto pelo tópico.
PARTÍCULA LIVRE EM POTENCIAL PERIÓDICO :
PARTÍCULA AMORTECIDA EM POTENCIAL PERIÓDICO :
A força relativa ao potencial usado aqui é da forma:
Aqui temos dois casos característicos para a partícula, ou ela não tem velocidade inicial suficiente para superar a primeira bareira do potencial (agora fica possível tal situação pois ela está com um termo dissipativo a mais na sua força resultante) ou ela vence a primeira e ou mais barreiras até que "estaciona" em algum ponto de mínimo do potencial periódico.
Agora os trabalhos tomam rumo com o dímero.
DÍMERO VIBRANDO EM SUA FREQUÊNCIA NATURAL DE VIBRAÇÂO
As simulações estão sendo feitas usando o modelo de um dímero, duas partículas presas por uma mola.As massas das partículas usadas nas simulações sempre serão normalizadas para 1Kg.A força é do tipo:
Frequência natural de vibração de um dímero:
Sabe-se que a frequência de vibração w, de um bloco com massa m, preso por uma mola com constante elástica k, e a mola com sua outra extremidade presa a um ponto fixo é dada por:
E que para qualquer movimento harmônico:
Como temos um dímero, a relação pode ser interpretada da seguinte maneira, imagine que no sistema bloco mola temos a mola presa em outro sistema bloco mola, e não em um ponto fixo, resultando em um dímero.Isso leva ao fato de que o bloco agora sente o dobro da força que sentia antes, como a única influência sobre o bloco é a mola, pode-se concluir que agora k tenha duplicado, portanto temos que:
DÍMERO AMORTECIDO EM POTÊNCIAL PERIÓDICO
Abaixo alguns exemplos das simulações feitas.Para todas o parâmetro de rede l = 1.0
Próximo passo foi reproduzir o artigo feito por Sebastian et al. Aplicando uma força no dímero, fazendo essa força variar e analisando seu comportamento de acordo com os valores em que sua velocidade fica estável chega-se a um resultado bastante interessante.Abaixo o gráfico de um caso possível:
O que temos aqui é uma força aplicada no dímero, fazendo com que o dímero nunca pare, mesmo com o amortecimento, pois esse amortecimento está relacionado com a velocidade da partícula, ou seja com o passar do tempo a velocidade do dímero estabiliza em um valor e é esse o valor plotado no gráfico acima. No inicio a força aplicada é pequena ainda para fazer o dímero se mover, pois ele esta preso no potencial do substrato.Conforme a força vai aumentando ele começa a se mover, até chegar a uma velocidade ressonante com a velocidade de vibração própia do dimero, portanto nesse ponto a força aplicada começa a parar de 'empurrar' o dímero.Essa força externa começa a contribuir para a vibração do dímero.Ela vai aumentando até chegar num ponto em que a força volta a ser transferida para a velocidade de translação do dímero, e portanto temos um salto na velocidade do dímero, e dae por diante ele entra no regime linear.
DÍMERO EM DUAS DIMENSÕES
Abaixo o primeiro gráfico obtido para as velocidades do centro de massa, de vibração e de rotação do dímero.
O ESTUDO EM DUAS DIMENSÕES ESTÁ DIVIDIDO EM DUAS PARTES : 1 - ANALISE DE SEU TEMPO DE PARADA, 2 - ANALISE COM FORÇA APLICADA.O ITEM 2 ESTÁ SUB-DIVIDIDO EM OUTRAS DUAS PARTES : 2a - INFLUENCIA DA ORIENTAÇÃO, 2b - FORÇA EM FASE COM GIRO
1 - ANALISE DE SEU TEMPO DE PARADA
Para compreender esse novo sistema sem refências bibliográficas foi desenvolvido um estudo detalhado de sua dinâmica.Abaixo alguns gráficos desta parte do trabalho:
Neste caso (casoa)temos o dímero posicionado com seu eixo 'em cima' de dois qualquer máximos de potencial da rede com menor distância(ou dois átomos mais próximos):
O dímero começa com uma velocidade inicial e obtem-se o tempo de parada para cada uma de suas componentes da velocidade: velocidade translacional, velocidade vibracional e velocidade rotacional.
Foi definido que quando o dímero começa a voltar contra o sentido em que ele inicialmente se movimentava, sua velocidade transalacional cessa.O mesmo vale para a rotacional, quando ele começa a girar no sentido inverso ao que ele girava inicialmente é considerado que ele não gira mais.Esta definido que a velocidade vibracional cessa quando alguns valores muito baixos de oscilação em relação aos de translação e ou rotação são alcançados pelos átomos do dímero.Convém notar aqui que não existe como seguir a RISCA esses parâmetros de parada, cada caso analisado é um caso diferente de dinâmica e são usados algoritoms diferentes para determinar a parada de cada velocidade.A cada novo tipo de dinâmica analisado surgiam mais possibiladades de ocorrências que fugiam do algoritmo anterior e então era necessário reformula-lo totalmente, adaptando para esse novo tipo de dinâmica.
Os pontos nesse gráfico são referentes a várias posições iniciais diferentes do dímero. No eixo y temos o ângulo de orientação do dímero, definido como o ângulo que o eixo do dímero faz com os dois átmos inicias da simulação(auto explicativo na figura anterior).Ou seja , temos ele variando de 0 a .No eixo x temos o tempo de parada de cada velocidade.
Neste caso (casoa) percebe-se uma simetria no eixo y , e temos dois maximos para tempo de parada da velocidade de oscilação.É esperado que com velocidades iniciais mais altas a orientação do dímero em relação ao substrato não exerça influência na dinâmica do dímero e portanto, seus tempos de parada seja iguais, o que é observado para a figura seguinte, com velocidade 100 vezes maior que a figura do caso anterior.Convém ressaltar que a velocidade inicial é aplicada sempre no mesmo sentido, e nos dois casos, no sentido como a figura inicial propõe (figura auto explicativa).Percebe-se que o dímero não ganha rotação apenas com aplicação de velocidades desse tipo.
Vale ressaltar que casoa e casob estão com comensuração = 1.
Abaixo os mesmos casos com comensuração = 0.5
Sem comensuração observa-se que as velocidades não tomam muitas características que dependem da orientação.
Agora outra dinâmica, abaixo figura autoexplicativa:
Aqui nessa dinâmica o dímero é lançado com velocidade igual a da sua orientação.
Após simulação:
Agora outra dinâmica, abaixo figura auto-explicativa:
Aqui o dímero é lançado com uma velocidade de giro mais uma velocidade de translação.
Sem comensuração (C = 0.5):
Aqui nesse ponto ainda não é possível observar que a adição de um giro inicial faça alguma diferença na dinâmica do dímero.Ponto importante é saber se agora em duas dimensões a possibilidade do dímero rotar tem alguma influência decisiva na sua dinâmica, diferente do que acontecia em uma dimensão. Primeiro ponto lógico a ser analisado é o caso acima para velocidades de giro variando, com velocidade de centro de massa fixas, abaixo duas simulações, uma com vcm : 15 e outra com vcm : 100
Perecebe-se que conforme vcm vai ficando maior que a velocidade de rotação ela vai se tornando uma linha 'comportada'.Alguns pontos a primeira vista parecem não estar certos, mas eles foram revisados e vistos um por um.
Agora é o ponto decisivo para ver se esse novo grau de liberdade, a rotação, tem alguma influência.O passo decisivo consiste em analisar um gráfico em que toma os tempos de parada para o dímero unidimensional com velocidades iniciais variando.Compara-lo com o bidimensional (que ficou idêntico), e compara-lo novamente com o bidimensional adicionado de velocidades de rotação com varios valores.Abaixo o gráfico obtido para diversas simulações(comparações foram feitas em escalas logaritmas para melhor verificação):
Aqui perecebe-se que para velocidades tangenciais(ou rotacionais, ou vt) suficientemente altas temos um tempo de parada diferente ao comparado sem velocidade rotacional inicial.Ficou provado então que existe influências decisivas diferentes comparadas ao caso unidimensional em relação ao giro.Neste ponto pareceu ser mais satisfatorio mudar o rumo do trabalho para estudar com forças aplicadas.
2 - ANALISE COM FORÇA APLICADA
2a - INFLUENCIA DA ORIENTAÇÃO
Nesse tópico foi pesquisado a influência de forças aplicadas no dímero, e como a comensuração afeta essa dinâmica. As simulações foram feitas colocando o dímero com orientação variando de 0º a 90º, com uma força aplicada.Foi plotado os gráficos de velocidade final do dímero(velocidade estacionária) por orientação.A caomensuração está definida como b/l, em que b é a distância de equilíbrio do dímero e l é a distância entres dois máximos do potencial da rede, ou seja, o parâmetro de rede para uma célula simples.As simulações foram feitas para comensurações igual a 0.5, 1.0, 1.25 e 1.5. Uma prévia da figura para um regime de forças altas seria uma mesma velocidade final para qualquer orientação inicial do dímero.Relembrando da figura em que é plotado a força variando, temos que o valor de quando a força entra em fase com a energia de vibração do dímero é de aproximadamente 0.5, portanto espera-se que para esse valor de força exista algum efeito diferente do normal.
b/l = 1.0
Aqui observa-se que conforme a orientação do dímero varia ele assume dois estados.Ou ele se movimenta e ganha velocidade, ou permanece parado.Isso existe pelo fato de existirem melhores 'caminhos' para seu movimento, ou poços de potenciais relativos a sua dinâmica.A direção da força na figura acima é de 0º, abaixo gráficos para forças nas direções de 22,5º, 45º, 67,5º , e 90º respectivamente:
Fica evidente que a direção da força aplicada não tem influência sobre em qual ângulo o dímero vencerá a barreira de potencial e ira se movimentar ou quando ele não consegue mais se mover.Os ângulos limites para o incio do movimento são mantidos. Abaixo agora uma analise sobre a vizinhança dessa força.Forças aplicadas são de 0,3 , 0,4 e 0,6 respectivamente, todas na direção 0º.
As figuras acima mostram que a amplitude da velocidade estacionária do dímero vai decaindo conforme a força aplicada é diminuida, mas preserva-se o aspecto 'montanha' visto para com força aplicada igual a 0.5.Na ultima figura com força igual a 0.6 já não existe mais o efeito 'montanha', pois a força ja é suficiente para vencer qualquer potencial do substrato independente da orientação do dímero. Agora resto o estudo com comensurações diferentes.Estão a baixo respectivamente figuras e comentários para b/l = 0.5, 1.25 e 1.5.
b/l = 0.5
A força é aplicada na direção de 0º, logo temos que quando o dímero está próximo da orientação de 90º ele começa a sentir mais os máximos do potencial da rede, e portanto enfrenta mais dificuldade para entrar em movimento, camaremos isso de efeito de borda de força.A prova para esse argumento é que se a força fosse aplicada numa direção de 90º teriamos esse efeito logo na proximidade de uma orientação de 0º, que é o que acontece abaixo:
Agora diminuindo a intensidade da força para 0.3 observam-se duas coisas, uma esperada, que é a diminuição da amplitude da velocidade estacionaria, e um segundo ponto interessante, o ângulo limite aumenta para a força aplicada na direção de 90º, ou seja , conforme se diminui a força temos um aumento no ângulo limite.Abaixo o gráfico.
Portanto com essa comensuração observamos o efeito de o ângulo limite "caminhar" conforme a força varia nas proximidades de 0.5.
b/l = 1.25
Aqui temos caso semelhante ao de comensuração = 0.5.Para analisar se o caso dessa queda do ângulo limite ser igual ao caso do l/b = 0.5 foi simulado para uma força aplicada no sentido de 90º.
As dinâmica das duas comensurações são bem parecidas, agora a analise de uma força menor aplicada para ver se o ângulo limite 'caminha' também.
E portanto o que no inicio parecia ser igual ao caso b/l = 0.5 provou-se ser totalmente diferente, agora com aspecto de 'montanha'.Indo mais longe a analisando o que acontece com uma força de 0,35 aplicada, obtem-se a seguinte figura:
E assim por diante diminuindo a força a dinâmica permanece a mesma.Temos então com essa comensuração algo que no inicio tem o efeito de borda de força, depois assume a característica de 'montanha' e finalmente cessa todo e qualquer movimento para forças logo abaixo de 0.4.
b/l = 1.5
Só com esse gráfico fica dificíl comentar muitas coisas sólidas, abaixo com força aplicada no sentido de 90º
Aqui observa-se uma troca simetrica de maximos e mínimos mantendo-se aproximado o ângulo limite.Primeira dinâmica em que o dímero surge com mais de uma possibiladade de entrar em movimento, até agora para o intervalo de estudo (0 - pi/2) não havia se observado essa característica ainda.Variando a força temos:
Portanto dinâmica parecida com a comensuração de 1 e temos diminuição da amplitude da velocidade estacionaria conforme se diminui a força aplicada.Agora um ponto interessante, de acordo com o estudo das outras comensurações surge uma duvida, conforme ia se diminuindo a força dependendo do caso, o ângulo limite 'andava' b/l = 0.5 , não fazia nada b/l = 1 ou cessava completamente b/l = 1.25.O que deve acontecer nesse caso, já que temos duas 'montanhas'? a figura abaixo responde essa pergunta:
A primeira 'montanha' não existe mais e a segunda continua com o ângulo limite igual. Portanto, nesse caso temos algo muito parecido com o de comensuração igual a 1, só que com duas 'montanhas'.Ao fazer mais simulações, observa-se que a uniformidade é apenas mantida para número inteiros de b/l, sempre retornando o aspecto de 'montanha' até que a distância de equilíbrio (b) se torna tão grande que não se observa mais efeitos do substrato relativo a comensurações.