Aplicações (Mapas)

Introdução

Na teoria de sistemas dinâmicos uma aplicação (mapa) é uma função de evolução usada para criar um sistema dinâmico a tempo discreto.

 ${\vec {x}}_{n+1}={\vec {f}}\,({\vec {x}}_{n})$

Na expressão acima, o tempo é representado pela variável inteira $n$, ${\vec {x}}$ é uma vetor real (ou complexo) e ${\vec {f}}$ é a aplicação propriamente dita.

Aplicações podem ser usadas para representar seções (cortes) nas trajetórias de sistemas dinâmicos (seções de Poincaré) reduzindo a dimensão do espaço, ou diretamente em sistemas onde o tempo efetivamente possa ser modelado por uma variável discreta (e.g. eventos sazonais). O exemplo paradigmático é o da aplicação logística.

Aplicação Logística

É uma aplicação polinomial usualmente empregada como arquétipo de comportamento caótico. Foi introduzida originalmente por Pierre François Verhulst como modelo demográfico, posteriormente, para representar uma população qualquer na presença de fatores limitantes.

Idéias fundamentando do modelo:

a) reprodução proporcional à população

b) redução da população se atingido um limite acima do qual não há meios naturais.

  $x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})$ 

Estados assintóticos para diferentes valores de $r$:

$0<r<1\,\,\,\rightarrow$ extinção da população

$1<r<3\,\,\,\rightarrow$ assintoticamente população estabiliza em um valor fixo (ciclo 1).

$3<r<1+{\sqrt {6}}\,\,\,\rightarrow$ assintoticamente a população oscila entre dois valores (ciclo 2)

$1+{\sqrt {6}}<r<3.54\,\,\,\rightarrow$ assintoticamente a população oscila entre quatro valores (ciclo 4)

...

$3.57...>r>4\,\,\,\rightarrow$ população oscila caoticamente (periodicamente para certos subintervalos de r)