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Trabalho desenvolvido no semestre 2021/1 da UFRGS pelos alunos Kevin Pergher, Lucas Colombo e Mateus Guimarães para o curso de Métodos Computacionais da Física C, ministrado pelo professor Heitor C.M Fernandes.
== Introdução ==
Transições de Fase são os pontos onde ocorrem mudanças bruscas nas características físicas de um meio. Estas usualmente se encontram associadas à passagem do sistema de um estado com mais ordem para um estado com menos ordem, ou vice versa. 
Uma maneira de caracterizar estas transições é a partir de observáveis já conhecidos que sejam atrelados a uma característica intrínseca do meio. Tais observáveis recebem o nome de [[Transições de Fase#Parâmetros de Ordem|parâmetros de ordem]]. 
Uma transição de fase nem sempre está associada a uma mudança de estado físico, como uma troca do estado líquido para o gasoso – é necessário a variação brusca de um observável, que nem sempre é imediatamente visível (por exemplo, magnetização).


== Parâmetros de Ordem ==
Um observável que 
:'''i.''' Preferencialmente,  ser diferente de 0 na fase ordenada;
:'''ii.''' Preferencialmente, ser igual a 0 na fase ordenada.
E assim, possa ser usado para caracterizar uma transição de fase é denominado parâmetro de ordem [2]. É importante notar que em muitos casos, um observável pode passar a cumprir estes parâmetros com uma translação.
Existem diversos exemplos de parâmetros ordem associados às mais diversas áreas, como por exemplo: 
Em um sistema ferromagnético, a magnetização é zero na fase desordenada e possui algum valor positivo na fase ordenada. 
Em sistemas gás-líquido, a diferença de densidade 
Em sistemas de cristais líquidos, o grau da ordem de orientação.



== Transições de Primeira e Segunda Ordem ==
Pode-se caracterizar as transições de fase em função da natureza da derivada da energia livre <math>F</math> do sistema, seguindo então a notação de [https://pt.wikipedia.org/wiki/Paul_Ehrenfest Ehrenfest], temos:

=== Transição de Primeira Ordem ===
Uma transição de primeira ordem é definida a partir de uma descontinuidade em uma função representada por “primeiras” derivadas da função de energia livre do sistema, ou seja, se um observável calculado a partir de uma derivada da função de energia livre do sistema apresentar uma descontinuidade, define-se uma transição de fase de primeira ordem neste ponto de descontinuidade.

Exemplos de observáveis que apresentam transições de primeira ordem são: 

{| class="wikitable" style="height:14em;"
|-
! Entropia (<math> S </math>) !! Volume Molar (<math> V_m </math>) !! Entalpia (<math> H </math>)
|- style=height:7em
| <math>\bigg(  \frac{\partial F}{\partial T}\bigg)_{P} = -S</math> ||  <math>\bigg(  \frac{\partial F}{\partial T}\bigg)_{T} = V_m</math> ||  <math>\bigg(  \frac{\partial \frac{F}{T}}{\partial \frac{1}{T}}\bigg)_{P} = H</math>
|}

=== Transição de Segunda Ordem ===
Uma transição de segunda ordem, por sua vez, está relacionado com descontinuidades em derivadas segundas da função de energia livre do sistema, ou seja, ao invés de apresentar descontinuidades nas primeiras derivadas, as transições de fase de segunda ordem apresentam descontinuidades em relação a derivadas segundas da função de energia livre.

Exemplos de observáveis que apresentam transições de segunda ordem são: 

{| class="wikitable" style="height:14em" align="center";

|-
! Calor Específico ( <math> C_p </math> ) !! Coeficiente de Expansão Térmica ( <math>\alpha </math> ) !! Coeficiente de Compressibilidade Isotérmica ( <math> \kappa_T </math> )
|- style=height:7em
|  <math>\bigg(  \frac{\partial H}{\partial T}\bigg)_{P} = C_p</math>  ||              <math>\bigg(  \frac{\partial V}{\partial T}\bigg) = \alpha V</math>  ||  <math>\bigg(  \frac{\partial F}{\partial T}\bigg)_{T} = -\kappa_T V</math> 
|}

        
            


Ambas transições apresentam ponto de inflexão na denominada temperatura crítica (T_c) do sistema, fazendo-se possível então a separação de dois estados para um sistema com temperatura <math>T</math> : 

:<math>T < T_c =</math> Estado Ordenado;
:<math>T > T_c =</math> Estado Desordenado.

Pela definição de Ehrenfest, não se exclui a existência de transições de fase de maiores ordem, uma vez que estas estariam relacionadas a derivadas de maiores ordens da função de energia livre do sistema; existem também as chamadas ''transições de ordem infinita'' [3], nas quais uma transição de fase é perceptível macroscopicamente, porém não existem descontinuidades em derivadas finitas da função de energia livre.

== Transições de Fase em Simulações ==
Como exemplo de apresentação das transições de fase em simulações computacionais de sistemas físicos, a simulação do [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Grupo_-_Modelo_de_Potts Modelo de Potts] é oportuna por ser um modelo simples que apresenta transições de fase de primeira ordem se o número de estados q for maior que 4, e de ordem infinita se q<=4.


Utilizando o [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Clusteriza%C3%A7%C3%A3o Algoritmo de Wolff] para medir o parâmetro de ordem escolhido (magnetização do sistema), obteve-se a seguinte série temporal:
[Série Temporal]



== Referências ==
[1] Challa MS, Landau DP, Binder K. '''Finite-size effects at temperature-driven first-order transitions'''. Phys Rev B Condens Matter. 1986 Aug 1;34(3):1841-1852. doi: 10.1103/physrevb.34.1841. PMID: 9939842. 

[2] Chen S, Ferrenberg AM, Landau DP. '''Monte Carlo simulation of phase transitions in a two-dimensional random-bond Potts model'''. Phys Rev E Stat Phys Plasmas Fluids Relat Interdiscip Topics. 1995 Aug;52(2):1377-1386. doi: 10.1103/physreve.52.1377. PMID: 9963557

[3] Kumar, Pradeep & Khare, Avinash & Saxena, Avadh. (2011). '''An Infinite Order Phase Transition.'''