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== Falência Coletiva de Empresas e Transição de fase em dinâmicas de avaliação ==
=== Introdução ===

Existem muitos riscos na atividade bancária. Neste trabalho foi investigado uma Dinâmica usada para estudar estes riscos. Poder lidar com isso é importante para que a economia ao todo não seja afetada quando os piores cenários aconteçam. Um deles é o risco de Moratórias (Defaults). Uma moratória é definida como um estado em que um banco determina que um devedor não é mais capaz de pagar uma dívida sem com que o banco tome outras ações (p. e. estender o prazo de pagamento). Com isso em mente, um banco sempre precisa ter uma estimativa das suas perdas dado uma moratória para cada entidade capaz de gerar uma dívida <ref>Basel II: International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards: a Revised Framework, The Basel Committee for Banking Supervision, Basel (2004), http://www.bis.org/publ/bcbs107.htm</ref>. Uma dessa entidades são empresas. Porém, empresas não são entidades independentes. Elas tem relações com outras empresas e isso pode torná-las dependentes uma das outras. Baseado em o quão forte for essa dependência, uma moratória em uma empresa pode levar a uma moratória em outra. Duas empresas que dependem do produto uma outra se veem em uma situação que se caso qualquer uma delas tenha dificuldade financeira, a outra sentirá também e, no pior dos casos, pode acabar com dívidas assim como a sua parceira. Isso é chamado de moratórias em conjunto ou falência coletiva.

Dependências podem surgir de fontes diferentes e nem sempre serão positivas. Empresas podem ter uma parceria de trocas, onde uma depende do que outra produz e a que produz depende da compra da outra. Essa dependência também pode ser indireta, na forma de ambas dependerem de um mesmo recurso. Como ambas usam a mesma matéria prima, caso algo aconteça com a mesma, ambas serão afetadas. Uma competição entre empresas também é uma dependência. A diferença é que quando uma empresa for afetada de forma negativa, a outra será afetada de forma positiva e vice-versa.

Nesse trabalho foi utilizada uma dinâmica simples para identificar essas moratórias. Isso foi feito simulando essa interação entre empresas e criando uma avaliação da situação de cada uma delas. As mudanças nessas avaliações vão vir de duas fontes. A primeira será uma Dinâmica Individual de uma firma, isto é, o estado econômico da mesma e como ela age em relação a isso. A segunda fonte será uma Dinâmica Coletiva das interações entre as empresas semelhante ao [[Modelo de Potts]]. Com uma dinâmica desse tipo, veremos duas fases bem definidas no número de moratórias.

===Modelo===

A condição financeira de uma empresa será descrita por uma variável R com valores discretos 0, 1, …, <math>R_{max}</math>. Essa medida de avaliação financeira vai nos dizer que quando R = 0, teremos uma moratória. R é modelado pela Eq. (1).

<math>
R(t) = R(t-1) + s(t) + \eta(R(t-1), s(t))
</math>

Essa avaliação dependerá do seu valor anterior e em cada passo, ela só vai mudar de um em um, pois essa variável <math>s(t)</math> vai ser -1, 0 ou 1. Ou seja, só é possível diminuir em um o R(t) de uma empresa, ou aumenta-lo em 1. O <math>\eta</math> estará modelando as condições de fronteira, já que o espaço dos R's é limitado. A fronteira R = 0 (Moratória) é absorvente, pois uma empresa não irá se recuperar neste modelo. Já o limite superior, ou seja, <math>R_{max+1}</math> é refletivo, pois não se pode ir além. Isto será modelado com <math>\eta(R,s) = -s</math> se R=0, ou <math>\eta(R,s) = -1</math> se <math>R = R_{max}</math> e <math>s = 1</math>, ou <math>\eta(R,s) = 0</math> para os outros casos. 

<math>
P(s_i | s_1, ..., s_{i-1}, s_{i+1}, ..., s_N, R_i)  = \frac{1}{Z} exp(\sum_{j \neq i} J_{ij} \delta(s_i, s_j) + f(R_i, s_i))
</math>

A função s(t) é semelhante aos spins de partículas para um Modelo de Potts com q = 3. Para N empresas, definiremos uma probabilidade de uma variável <math>s_i</math> de uma empresa <math>i</math> mudar de estado no instante t. Isto é, será uma probabilidade condicional, onde iremos supor uma transição e analisar a probabilidade disso ocorrer no tempo seguinte, baseado em como o sistema está agora e repetir isso para todas as possíveis transições, vide Eq. (2). Tudo antes da barra em (2) é em <math>t+1</math> e tudo depois da barra é em <math>t</math>. Ou seja, assumiremos que em <math>t+1</math>, <math>s_i = -1</math>. Calculando <math>P(s_i = -1 | s_1, s_2, ...)</math> teremos a probabilidade disso acontecer, analisando em especial o Delta de Kronecker. Ele só será não nulo com os <math>s_j</math> que estão no mesmo estado, ou seja, estamos contando quantos estados são iguais ao <math>s_i</math> que foi suposto. O termo <math>J_{ij}</math> será uma matriz que vai modelar a interação entre as empresas, ou a dependência entre i e j. Cada valor nesta matriz é Gaussiano (Eq. 3) com média <math>J_0</math> e desvio <math>\sigma_J</math>. Além disso Z será uma constante de normalização, para que <math>P(s_i = -1 | s_1, …) +  P(s_i = 0 | s_1, …) + P(s_i = 1 | s_1, …) = 1</math> e <math>f(R_i, s_i)</math> será o termo que vai modelar a dinâmica interna da empresa (Veremos o caso <math>f=0</math> e o caso <math>f \neq 0</math>). Com isso feito, teremos a possibilidade do nodo <math>s_i</math> ir para -1 em <math>t+1</math>. Estenderemos isso para <math>P(s_i = 0| s_1, ...)</math> e <math>P(s_i = 1| s_1, ...)</math> e teremos todas as possibilidades de transição de <math>s_i</math> em <math>t+1</math>. Basta agora repetir isso para as N empresas e escolher aleatoriamente o destino de cada nodo baseado nessas probabilidades obtidas.

Os valores <math>J_{ij}</math> podem ser tanto positivos quanto negativos. Quando <math>J_{ij} > 0</math>, haverá uma interação positiva entre duas empresas, ou uma cooperação. Essa cooperação pode ser na forma de uma relação de compra e troca, ou na dependência de mesmos recursos. Se um dos nodos tiver algum problema financeiro, ele terá o seu capital afetado e logo diminuirá os lucros dos seus parceiros. Uma mudança em i causará uma mudança em j na mesma direção. Caso <math>J_{ij} < 0</math>, haverá uma concorrência entre i e j. Uma mudança em i causará uma mudança em j na direção oposta.

<math>
P(J_{ij}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_J^2}} exp(-\frac{(J_{ij} - J_0)^2}{2\sigma_J^2})
</math>

Definiremos também o número de moratórias <math>ND</math> (Number of Defaults). Sabemos que há uma moratória quando <math>R=0</math>, então <math>ND</math> será quantos <math>R_i</math> nulos teremos nas N empresas após toda uma simulação. Mas, como <math>J_{ij}</math> será um valor diferente de simulação para simulação e isso levará a valores diferentes de <math>ND</math>, iremos definir uma média de <math>ND</math> como <math><ND></math>. Na equação abaixo, K é o número de simulações feitas e <math>ND_k</math> é o <math>ND</math> de uma específica simulação.

<math>
<ND> = \frac{1}{K} \sum_{k = 1}^K ND_k 
</math>

===Simulações===
== Referências ==

<references/>