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De Física Computacional
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O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson.
O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson.
==Equação de Schrödinger==
A equação de Schrödinger unidimensional pode ser escrita da seguinte maneira:
<center><math> i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}+V\Psi.</math></center>
Para resolvê-la é necessário efetuar uma separação de variáveis:
<center><math>\Psi(x,t)=\psi(x)\varphi(t).</math></center> 
Aplicando na primeira equação e separando os termos espaciais dos termos temporais, chega-se a uma equação com o seguinte formato:
<center><math>i\hbar\frac{1}{\varphi}\frac{d\varphi}{dt}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\psi}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V. </math></center>
Pelo fato da parte da esquerda ser dependente de ''t'' e a parte da direita ser dependente de ''x'' e de ambas estarem relacionadas por uma igualdade, é necessário que ambos os lados sejam constantes: em outras palavras, não é possível modificar um lado sem necessariamente alterar o outro. Através de um raciocínio perspicaz, a constante em questão será denominada ''E''.
===Parte temporal===
A parte que diz respeito à evolução temporal:
<center><math> \frac{d\varphi}{dt}=-\frac{iE}{\hbar}\varphi.</math></center>
A solução geral possui o seguinte formato
<center><math> \varphi(t)=Ce^{-\frac{-iEt}{\hbar}} ,</math></center>
cuja constante C pode, neste caso, ser absorvida, de modo que
<center><math> \varphi(t)=e^{-\frac{-iEt}{\hbar}} . </math></center>
===Parte espacial===
Quanto à parte espacial, utilizando o mesmo raciocínio empregado anteriormente, a equação pode ser escrita como
<center><math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V\psi=E\psi </math></center>
Para este caso, no entanto, não há uma única solução, pois esta depende do potencial ''V'' escolhido. Para o presente trabalho optou-se por trabalhar com o caso do poço infinito de potencial pelo fato das soluções analíticas já serem conhecidas, de modo a tornar possível avaliar os resultados numéricos obtidos à luz da solução analítica.


==Poço de potencial infinito==
==Poço de potencial infinito==

Edição das 19h27min de 12 de fevereiro de 2023

Equações de Laplace e Poisson - Eletrostática

Shooting method e Método de Crank-Nicolson aplicados à Equação de Schrödinger

O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson.

Poço de potencial infinito

Esquematicamente, tem-se:

Poço de potencial infinito

O potencial pode ser descrito como:

Dentro do poço, onde $V=0$, o problema pode ser modelado da seguinte maneira

ou

onde

A solução é dada por

Aplicando as condições de contorno e efetuando a normalização da função de onda, obtém-se a solução geral

cujas energias discretizadas são

Utilizando a equação acima, pode-se calcular os valores da energia de cada estado estacionário. Para o caso de um elétron, as energias referentes aos três estados estacionários são eV, eV e eV.

Na próxima seção será feita uma estimativa dos valores acima expostos através do "Shooting method".

Shooting Method

Muitos métodos numéricos (e.g. Runge-Kutta, Forward Euler) requerem os valores da função e de sua derivada no ponto inicial. Acontece que podem haver problemas em que estes valores não estarão disponíveis, principalmente o valor da derivada em questão. Uma alternativa seria conjecturar o valor da condição inicial e integrar, através de um método apropriado, em direção à outra condição de contorno: um "chute" apropriado faria com que a integração evoluísse e retornasse um valor muito próximo, a depender da acurácia necessária, ao da condição de contorno. A ideia seria executar os seguintes passos:

  1. Supor um valor para a condição de contorno desconhecida (e.g. ou );
  2. Integrar o problema através de um método conhecido até a próxima condição de contorno (e.g., );
  3. Se o chute inicial não fez com que o sistema evoluísse até , então deve-se supor outro valor para a condição inicial e repetir o procedimento.

O método descrito acima de forma simplificada recebe o nome, em inglês, de Shooting method, o que em português seria algo como "Método do tiro" ou "Método do chute". Na próxima seção esse método será aplicado para o caso do poço infinito de potencial.

Poço de potencial infinito

Seja a equação , onde .

Escrevendo com outra notação: .

Dividindo o problema em 's pequenos, pode-se reescrever a equação acima da seguinte forma:

.

Também:

.

Além disso:

.

A integração, então, é realizada utilizando as relações 8, 9, 10 e 11, até que se atinja a borda do poço, isto é, .

Com a discretização acima, foi possível implementar o algoritmo. Das condições de contorno do problema, sabe-se que , de modo que . No entanto, o valor da derivada não é conhecido, de modo que supõe-se que seja uma constante, a saber, . Chutando que , utilizando a massa do elétron e , obtém-se a primeira solução estacionária:

Solução estacionária (n=1)

Pode-se observar que o valor de energia obtido numericamente é cerca de 4% menor do que aquele obtido analiticamente.

Para o caso n=2:

Solução estacionária (n=2)

Aqui, o valor obtido numericamente é aproximadamente 5% maior do que o valor obtido analiticamente.

Para o caso n=3:

Solução estacionária (n=3)

Para este caso, o valor numérico é cerca de 1% menor do que o valor analítico.

Método de Crank-Nicolson

Seja a equação diferencial

,

onde é um operador diferencial linear em r.

Em forma discretizada no tempo, pode-se escrever

.

Por simetria, pode-se escrever a equação acima utilizando um f à direita:

A equação acima é dita "explícita" pois, para o cálculo de , só é utilizado o valor já explicitamente calculado . Já a equação anterior é chamada implícita pois está presente explicitamente. Em termos numéricos, um método peca pelo excesso enquanto o outro o faz pela falta, de modo que um resultado mais satisfatório pode ser obtido ao tomar-se a média dos dois:

Após alguma álgebra:

.

Chamando e , onde I indica a matriz identidade, pode-se reescrever a equação acima na seguinte maneira:

.

Trata-se do método de Crank-Nicolson, mais estável e preciso do que os métodos implícito e explícito. Caso o problema apresentar condições de contorno, estas serão devidamente implementadas nos elementos das matrizes M e E.

Equação de Schrödinger

Seja a equação de Schrödinger unidimensional

.

Efetuando a discretização das variáveis através do Método de Crank-Nicolson, obtém-se:

Substituindo as discretizações na eq. de Schrödinger:

Supondo e separando as partes explícita e implícita, obtém-se, após alguma álgebra:

Definindo

e

obtém-se:

A equação acima pode ser escrita em forma matricial, de modo que:

onde

e

Para avaliar a evolução temporal do sistema, é necessário encontrar . Utilizando resultados anteriores, pode-se obter através da seguinte relação:

Poço de potencial infinito

Para o presente caso a ideia é obter a evolução temporal do sistema, impondo condições de contorno iguais a zero, de modo que os operadores e ficam:

e

A ideia é que o primeiro e o último termo do tanto do vetor quanto do vetor seja constante, o que satisfaz as condições de contorno do presente caso. Também é interessante notar que os índices são todos constantes, visto que no presente caso o potencial dentro do poço é nulo.

Implementando o algoritmo descrito acima, obteve-se:

Evolução temporal (n=1)

Evolução temporal para o caso n=1. Nesta animação e nas subsequentes, foram sobrepostas as partes real e imaginária da equação de Schrödinger: a linha azul diz respeito à parte real enquanto a amarela, à imaginária.

Evolução temporal (n=2)

Na figura acima, tem-se a evolução do caso n=2.

Evolução temporal (n=3)

Por último, o caso n=3.