Mudanças entre as edições de "Teste2"

De Física Computacional
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(Criou página com '= Resolução Analítica = Equação da difusão <math>{\partial f \over \partial t} = {\partial^2 f \over \partial x^2}</math> Separação de variáveis: <math>f(x,t) = h(...')
 
(Resolução Analítica)
 
Linha 7: Linha 7:
 
Separação de variáveis: <math>f(x,t) = h(x)g(t)</math>
 
Separação de variáveis: <math>f(x,t) = h(x)g(t)</math>
  
<math>\begin{aligned}
+
ggg
hg^{\prime} &=& h^{\prime\prime} g \\
+
\frac{g^{\prime}}{g} &=& \frac{h^{\prime\prime}}{h} \end{aligned}</math>
+
  
como um lado só depende de x e o outro só depende de t.
+
<math> hg  = h g </math>
  
<math>\begin{aligned}
+
<math>
g = -k^2g \ &\to& \  g(t) = e^{-k^2t} \\
+
hg^{\prime} = h^{\prime\prime} g \\  
h^{\prime\prime} + k^2 \, h = 0  &\to& \ h(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)\end{aligned}</math>
+
\frac{g^{\prime}}{g} = \frac{h^{\prime\prime}}{h} </math>
 
+
A função
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+
<math>\begin{aligned}
+
u(x,t) = e^{-k^2t} \sin(kx)\end{aligned}</math>
+
 
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é solução da equação de difusão para qualquer k. Para satisfazer as condições de contorno <math>u(0,t) = 0</math> e <math>u(1,t) = 0 \Rightarrow k = m\pi</math>. Como qualquer uma das funções <math>\sin(m\pi x)</math> será solução, a sua superposição (linear) também o será<ref>A equação de difusão que estamos tratando é linear
+
</ref>:
+
 
+
<math>\begin{aligned}
+
u(x,t) = \sum_{m=1}^\infty a_m.e^{-(m\pi)^2t} sen(m\pi x)\end{aligned}</math>
+
 
+
onde a condição inicial é dada por <math>u(x,0) = u^0(x)</math>. Se o intervalo em questão for de <math>0</math> até <math>L</math>, troca-se <math>m\pi</math> por <math>m\pi/L</math> com a finalidade de satisfazer as condições de contorno:
+
 
+
<math>\begin{aligned}
+
{\left \{ \begin{matrix} u^0(x) = \sum_{m=1}^\infty a_m sen(m\pi x) \\ a_m = 2\int_0^1 u^0(x) sen(m\pi x) dx \end{matrix} \right.}
+
%\end{equation}\end{aligned}</math>
+
 
+
'''Pergunta computacional prática: '''
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* Como calcular todos os termos da série e como realizar a integração para obter os coeficientes?
+
 
+
'''Teste da solução analítica: '''
+
 
+
<math>\begin{aligned}
+
u(x,t) &=& \sum_{m=1}^\infty a_m.e^{-(m\pi)^2t} \sin(\pi x) \\
+
{\partial u \over \partial t} &=& \sum_{m=1}^\infty -(m\pi)^2 a_m . e^{-(m\pi)^2t}sen(kx) \\
+
{\partial u \over \partial x} &=& \sum_{m=1}^\infty m\pi a_m . e^{-(m\pi)^2t} cos(kx) \\
+
{\partial^2 u \over \partial x^2} &=& \sum_{m=1}^\infty -(m\pi)^2a_m.e^{-(m\pi)^2t} \\
+
u(0,t) &=& \sum_{m=1}^\infty \ ...\  sen(\pi 0) = 0 \\
+
u(1,t) &=& \sum_{m=1}^\infty \ ...\  sen(m\pi) = 0 \mbox{ para } m=0,1,2,...\end{aligned}</math>
+
 
+
A condição inicial é satisfeita pela própria definição utilizada.
+
 
+
* Podes colocar algum exemplo de cálculo de <math>u^0(x)</math>
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<references />
+

Edição atual tal como às 18h43min de 16 de junho de 2017

Resolução Analítica

Equação da difusão

Separação de variáveis:

ggg

Falhou ao verificar gramática (Erro de sintaxe):