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| Linha 7: |
Linha 7: |
| | Separação de variáveis: <math>f(x,t) = h(x)g(t)</math> | | Separação de variáveis: <math>f(x,t) = h(x)g(t)</math> |
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| − | <math>\begin{aligned}
| + | ggg |
| − | hg^{\prime} &=& h^{\prime\prime} g \\
| + | |
| − | \frac{g^{\prime}}{g} &=& \frac{h^{\prime\prime}}{h} \end{aligned}</math>
| + | |
| | | | |
| − | como um lado só depende de x e o outro só depende de t.
| + | <math> hg = h g </math> |
| | | | |
| − | <math>\begin{aligned} | + | <math> |
| − | g = -k^2g \ &\to& \ g(t) = e^{-k^2t} \\
| + | hg^{\prime} = h^{\prime\prime} g \\ |
| − | h^{\prime\prime} + k^2 \, h = 0 &\to& \ h(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)\end{aligned}</math>
| + | \frac{g^{\prime}}{g} = \frac{h^{\prime\prime}}{h} </math> |
| − | | + | |
| − | A função
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>\begin{aligned}
| + | |
| − | u(x,t) = e^{-k^2t} \sin(kx)\end{aligned}</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | é solução da equação de difusão para qualquer k. Para satisfazer as condições de contorno <math>u(0,t) = 0</math> e <math>u(1,t) = 0 \Rightarrow k = m\pi</math>. Como qualquer uma das funções <math>\sin(m\pi x)</math> será solução, a sua superposição (linear) também o será<ref>A equação de difusão que estamos tratando é linear
| + | |
| − | </ref>:
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>\begin{aligned}
| + | |
| − | u(x,t) = \sum_{m=1}^\infty a_m.e^{-(m\pi)^2t} sen(m\pi x)\end{aligned}</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | onde a condição inicial é dada por <math>u(x,0) = u^0(x)</math>. Se o intervalo em questão for de <math>0</math> até <math>L</math>, troca-se <math>m\pi</math> por <math>m\pi/L</math> com a finalidade de satisfazer as condições de contorno:
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>\begin{aligned}
| + | |
| − | {\left \{ \begin{matrix} u^0(x) = \sum_{m=1}^\infty a_m sen(m\pi x) \\ a_m = 2\int_0^1 u^0(x) sen(m\pi x) dx \end{matrix} \right.}
| + | |
| − | %\end{equation}\end{aligned}</math>
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| − | | + | |
| − | '''Pergunta computacional prática: '''
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| − | * Como calcular todos os termos da série e como realizar a integração para obter os coeficientes?
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| − | '''Teste da solução analítica: '''
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| − | <math>\begin{aligned}
| + | |
| − | u(x,t) &=& \sum_{m=1}^\infty a_m.e^{-(m\pi)^2t} \sin(\pi x) \\
| + | |
| − | {\partial u \over \partial t} &=& \sum_{m=1}^\infty -(m\pi)^2 a_m . e^{-(m\pi)^2t}sen(kx) \\
| + | |
| − | {\partial u \over \partial x} &=& \sum_{m=1}^\infty m\pi a_m . e^{-(m\pi)^2t} cos(kx) \\
| + | |
| − | {\partial^2 u \over \partial x^2} &=& \sum_{m=1}^\infty -(m\pi)^2a_m.e^{-(m\pi)^2t} \\
| + | |
| − | u(0,t) &=& \sum_{m=1}^\infty \ ...\ sen(\pi 0) = 0 \\
| + | |
| − | u(1,t) &=& \sum_{m=1}^\infty \ ...\ sen(m\pi) = 0 \mbox{ para } m=0,1,2,...\end{aligned}</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | A condição inicial é satisfeita pela própria definição utilizada.
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| − | | + | |
| − | * Podes colocar algum exemplo de cálculo de <math>u^0(x)</math>
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| − | <references />
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