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'''Grupo: Gabriel Azevedo, Rafael Abel e Thierre F. Conceição.
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== Termostato de Nosé-Hoover ==

O termostato de Nosé-Hoover é um algoritmo utilizado para simulação de dinâmica molecular. Esse ensemble é relevante quando o sistema em estudo está em contato com um banho térmico, para manter a temperatura constante<ref name=ensemble_nvt> https://www2.ph.ed.ac.uk/~dmarendu/MVP/MVP03.pdf </ref>. A maneira que o algoritmo de Nosé-Hoover mantém a temperatura constante é a partir da adição de uma variável dinâmica fictícia (um "agente" externo), que atua sobre as velocidades das partículas no sistema, as acelerando ou desacelerando até que estas atinjam a temperatura desejada.

Este trabalho tem como objetivo simular um fluído de Lennard Jones a partir do termostato de Nosé-Hoover, a fim de estudar o efeito das variáveis presentes no modelo do termostato sobre as variáveis física do sistema.

== Método ==

=== Termostato de Nose ===

Para entender o termostado de Nóse-Hoover, primeiramente será mostrado o termostato de Nosé<ref name=nose> NOSÉ, Shuichi, '''A molecular dynamics method for simulations in the canonical ensemble''', Molecular Physics, 1984, Vol. 52, No. 2, 255-268 </ref>. 

Este termostato atribui coordenadas generalizados adicionais <math> s </math> e o seu momento conjugado <math> p_s </math> ao banho térmico. O fator <math> s </math> é definido como um fator de escala das velocidades, onde:

<math> \dot \bold v = s\dot \bold r = s\bold p/m</math>

E também são definidas as energia potenciais e cinética associadas a <math> s </math> como:

<math> \mathcal U_s = (N_f + 1)k_BTln(s) </math>
e
<math> \mathcal K_s = \frac{1}{2}Q\dot s^2 = \frac{p_s^2}{2Q} </math>

onde <math> Q </math> é entendido como a "inércia térmica", ele determina a escala do tempo da flutuação de temperatura.

O Lagrangiano do sistema extendida (consistente das partículas e do banho térmico) então é postulado como:

<math> \mathcal L = \mathcal K + \mathcal K_s - \mathcal U - \mathcal U_s = \sum_i \frac{\bold p_i^2}{2m_is^2} + \frac{p_s^2}{2Q} - \mathcal U(\bold r) - (N_f + 1)k_BTln(s)</math>

Como não é explicitamente dependente do tempo:

<math> \mathcal H_N = \mathcal K + \mathcal K_s + \mathcal U + \mathcal U_s = \sum_i \frac{\bold p_i^2}{2m_is^2} + \frac{p_s^2}{2Q} + \mathcal U(\bold r) + (N_f + 1)k_BTln(s)</math>

Como <math> \mathcal H_N </math> se conserva, esse sistema é numericamente estável <ref name=L5> http://www.courses.physics.helsinki.fi/fys/moldyn/lectures/L5.pdf </ref>

Assim, as equações de movimento podem ser deduzidas:

<math> \bold \dot r_i = \frac{\partial \mathcal H_N}{\partial \bold p_i} = \bold p_i/(m_is^2)</math>

<math> \bold \dot p = -\frac{\partial \mathcal H_N}{\partial \bold r_i} = \bold f_i</math>
onde <math> f </math> é o número de graus de liberdade do sistema;

<math> \dot s = \frac{\partial \mathcal H_N}{\partial p_s} = p_s/Q</math>

<math> \dot p_s = -\frac{\partial \mathcal H_N}{\partial s} = \sum_i \frac{\bold p_i^2}{m_is^3} - (N_f + 1)k_BT/s </math>

Assim, para tempos longos, o termostato de Nose pode ser tratado como um sistema de partículas junto a um banho térmico, ou seja, como um ensemble canônico. Entretanto, o valor de <math> Q </math> precisa ser determinado por tentativa e erro. Outro problema do termostato de Nose é o fato de que, por as velocidades serem escaladas com o <math> s </math>, o tempo também será escalado com <math> s </math>, o que não acontece em sistemas reais e extendidos. <ref name=L5></ref>

=== Termostato de Nosé-Hoover ===

Para contornar esses problemas, Hoover utilizou uma parametrização diferente, sem o termo <math> s. </math> <ref name=hoover> William G. Hoover, '''Canonical Dynamics: Equilibrium phase-space distributions''', Physical Review A, 1985, Vol. 31, No. 3. </ref>. O parâmetro <math> s </math> pode ser removido das equações reescrevendo-as utilizando <math> \bold r </math>, <math> \bold \dot r </math> e <math> \bold \ddot r </math>. Assim, as equações de movimento do termostato de Nosé-Hoover são:

<math> \bold \dot r  = \dot p_i/m_i</math>

<math> \bold \dot p = \bold f_i - \xi \bold p_i = \bold f_i \frac{p_\eta}{Q}\bold p_i </math>

<math> \dot \eta = \left(\sum_ip_i^2/m_i - L/\beta\right)/Q </math>

onde <math> \eta </math> agora é o termo relacionado a fricção do banho térmico.

=== Cadeias de Nose-Hoover ===

O termostato de Nosé-Hoover gera distribuição canônica quando não existem forças externas ao sistema. Enquanto existem sistemas com forças externas que podem apresentar este comportamento, existem casos com forças externas onde esse termostato não gera o comportamento esperado. Para contornar esse problema, Martyna et al. <ref name=chains> MARTYNA, G. J., KLEIN, M. L., TUCKERMAN, M. '''Nose-Hoover chains: The canonical ensemble via continuous dynamics''' J. Chem. Phys. 1992, Vol. 97 No. 4. </ref> propuseram uma solução onde um termostato de Nosé-Hoover está acoplado a outro termostato de Nosé-Hover, formando uma cadeia. Este sistema ainda irá gerar uma distribuição canônica e não apresentará problemas com forças externas. As equações de movimento para um sistema com M termostatos são:

<math> \bold \dot r_i = \frac{\bold p_i}{m_i} </math>

<math> \bold f_i - \frac{p_{\xi 1}}{Q_1}\bold p_i </math>

<math> \dot \xi_k = \frac{p_{\xi,k}}{q_k} \quad k=1,...,M </math>

<math> \dot p_{\xi, 1} = \left(\sum_i\frac{p_i^2}{m_i} - Lk_BT\right) - \frac{p_{\xi,2}}{q_2}p_{\xi,1} </math>

<math> \dot p_{\xi, k} = \left[\frac{p_{\xi_{k-1}}^2}{Q_{k-1}} - k_BT\right] - \frac{p_{\xi_{k+1}}}{Q_{k+1}} </math>

. . .

<math> \dot p_{\xi, M} = \left[\frac{p_{\xi_{M-1}}^2}{Q_{M-1}} - k_BT\right] </math>

Que serão as equações utilizadas para a este trabalho, utilizando <math> M=2 </math>.

=== Objetivos ===

Utilizando o termostato de Nosé-Hoover, serão feitos gráficos utilizando diferentes valores de <math> Q </math>, a fim de analisar qual é o efeito dessa variável sobre o sistema. Para melhor análise, primeiramente o sistema será estabilizado com a temperatura <math> T = 1.0 </math>, e então terá um '''pulo''' na temperatura para <math> T = 1.5 </math>, com isso será possível analisar qual é o efeito da inércia térmica do banho térmico do sistema.

Serão feitos gráficos da temperatura ao longo do tempo de simulação, onde será possível observar as flutuações que ocorrem no sistema, além de um gráfico para mostrar a depedência da velocidade das partículas de acordo com o <math> Q </math> escolhido.

== Resultados ==

Primeiramente, foi feita uma simulação, com <math> T = 1.0 </math> constante ao longo de toda simulação, conforme visto na figura 1. É notável que existem intensas oscilações na temperatura no início da simulação, devido ao tempo que o sistema leva para atingir o equilíbrio. Além disso, as oscilações se mantém ao longo de toda simulação.

FIG 1

Abaixo são demonstradas situações onde houve um pulo da temperatura de <math> T = 1.0 </math> para <math> T = 1.5 </math> a partir do passo <math> 12000 </math> (esse valor foi escolhido para ter certeza que o sistema já se encontrava no equílibrio neste instante), utilizando três diferentes valores da variável referente a inércia do banho térmico, <math> Q = 0.1 </math> (que será chamado de "<math> Q </math> baixo", <math> Q = 1.0 </math> ("<math> Q </math> intermediário") e <math> Q = 10.0 </math> ("<math> Q </math> alto").

FIG 2

FIG 3

FIG 4

O que nota-se neste resultado, e que fica mais claro na figura 5, é que para um valor de <math> Q </math> baixo, ou seja, baixa inércia térmica, a temperatura do sistema possui muitas oscilações quando acontece o pulo, logo o sistema demora mais para se estabilizar, entretanto, quando estabilizado as oscilações são menores do que para valores de <math> Q </math> maiores. Para um <math> Q </math> alto, a temperatura não oscila depois do pulo, tendendo rapidamente para o valor desejado, entretanto, possuindo oscilações maiores do que para um <math> Q </math> baixo. O resultado de <math> Q </math> intermediário apresenta um comportamento entre os outros dois resultados, apresentando oscilações após o pulo, mas rapidamente tendendo para o valor desejado.

FIG 5

Conforme visto, o valor de <math> Q </math> influência o equilíbrio do sistema, portanto, conforme dito anteriormente, este valor precisa ser determinado, para cada sistema, por tentativa e erro.

Entretanto, o valor de <math> Q </math> não pode afetar as propriedades físicas da partícula, como a velocidade. Visto que a velocidade da partícula, ou seja, a temperatura média do sistema, é independente de <math> Q </math>, um gráfico da distribuição de Maxwell-Boltzmann para cada situação tem de ser idêntico à todos outros valores de <math> Q </math>. Isso é demonstrado nas figuras 6 e 7.

FIG 6

FIG 7

== Programas Utilizados ==

<source lang=c>

/*Simulação de DM de um fluido de Lennard-Jones com termostato Nose-Hoover Compile usando "gcc -o NVT_NH NVT_NH.c -lm -lgsl" */
/*********************************************/  
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
  
return 0;  
}

</source>

== Referências ==
<references/>