Mudanças entre as edições de "Solução via integrais sucessivas"

De Física Computacional
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{{Ecologia| [[Introdução à equações diferenciais com atraso]] |[[Estabilidade]]}}
 
{{Ecologia| [[Introdução à equações diferenciais com atraso]] |[[Estabilidade]]}}
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O problema de valor inicial do sistema:
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<math display="block">\dot{x}\left(t\right)=f\left(t,x_{t},u\left(t\right)\right)</math>
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para uma dada entrada <math display="inline">u\left(t\right)</math> consiste em determinar a solução contínua <math display="inline">x\left(t\right)</math> para <math display="inline">t\geq t_{0}</math> de forma que <math display="inline">x\left(t_{0}\right)=x_{0}</math> e <math display="inline">x\left(t\right)=\varphi\left(t\right)</math> para <math display="inline">t_{0}-\tau_{max}\leq t<t_{0}</math> onde <math display="inline">\tau_{max}=\text{const}\in\left[0,\infty\right)</math>, sendo que <math display="inline">\varphi</math> é chamado muitas vezes de função inicial, ainda é comum assumir que <math display="inline">\varphi\left(t_{0}\right)=x\left(t_{0}\right)</math>. Além disso, é importante comentar que uma função de dimensão finita tem a propriedade de que o estado em qualquer tempo pode ser especificado listando um conjunto finito de valores, então de modo análogo, uma função de dimensão infinita exige um conjunto infinito de valores. Quando se fornece as condições iniciais para um sistema finito, só precisamos fornecer um pequeno conjunto de valores (basicamente os valores iniciais), porem para resolver uma equação com atraso, é preciso fornecer uma quantidade infinita, dessa equações diferenciais com atraso possuem dimensionalidade infinita.
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Uma forma melhor de entender esta questão é pensar na solução da DDE (''delayed differential equation'') como um mapeamento de funções no intervalo <math display="inline">\left[t-\tau,t\right]</math> em funções no intervalo <math display="inline">\left[t,t+\tau\right]</math>. Em outras palavras a solução pode ser pensada como uma sequência de funções <math display="inline">f_{0}\left(t\right),f_{1}\left(t\right),f_{2}\left(t\right)\dots.</math> definidas sobre um conjunto de intervalos contíguos de tempo com tamanho <math display="inline">\tau</math>.
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Retornando à discussão da solução, a solução desejada é encontrada em intervalos sucessivos resolvendo equações diferenciais ordinários sem atraso em cada intervalo. Por exemplo, tendo um sistema:
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<math display="block">\begin{align}
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\dot{x}\left(t\right)= & f\left(t,x\left(t\right),x\left(t-\tau\right)\right) & t\geq & t_{0}\\
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x\left(t_{0}\right)= & x_{0} & t= & t_{0}\\
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x\left(t\right)= & \varphi\left(t\right) & t_{0}-\tau\leq t< & t_{0}\end{align}</math>
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Então para <math display="inline">t\in\left[t_{0},t_{0}+\tau\right]</math> o sistema pode ser representado como uma equação ordinária diferencial. Para isso precisamos lembrar que em um instante qualquer <math display="inline">t\leq t_{0}+\tau</math>, o valor da função <math display="inline">,x\left(t-\tau\right)</math> é dado no instante <math display="inline">T=t-\tau</math>, mas <math display="inline">T\leq t_{0}</math>, e nesta condição temos <math display="inline">x\left(t\right)=\varphi\left(t\right)</math>. Isto é:
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<math display="block">\begin{align}
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\dot{x}\left(t\right)= & f\left(t,x\left(t\right),\varphi\left(t-\tau\right)\right) & t_{0}\leq t\leq & t_{0}+\tau\\
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x\left(t_{0}\right)= & x_{0} & t= & t_{0}\end{align}</math>
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Então se obtermos a solução <math display="inline">x\left(t\right)=\varphi_{1}\left(t\right)</math> no segmento <math display="inline">\left[t_{0},t_{0}+\tau\right]</math>, pode-se obter uma solução análoga para o próximo intervalo.
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'''Exemplo''':
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Considerando o sistema:
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<math display="block">\begin{align}
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\dot{x}\left(t\right)= & 6x\left(t-1\right) & t\geq & 0\\
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x\left(t\right)= & t & -1\leq t< & 0\end{align}</math>
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Podemos observar que <math display="inline">t_{0}=0,\tau=1,\varphi\left(t\right)=t</math> e ainda <math display="inline">x\left(t_{0}\right)=\varphi\left(t_{0}\right)</math>. Então para o intervalo <math display="inline">\left[0,1\right]</math>:
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<math display="block">\begin{align}
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\dot{x}\left(t\right)= & 6\varphi\left(t-1\right) & 0\leq t & \leq1\\
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x\left(0\right)= & 0 & t & =0\end{align}</math>
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Resolvendo então, uma vez que <math display="inline">\varphi\left(t-1\right)=t-1</math>, então:
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<math display="block">\begin{align}
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\frac{dx}{dt} & =6\left(t-1\right)\\
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\int_{x\left(0\right)}^{x\left(t\right)}dx' & =6\int_{0}^{t}\left(t'-1\right)dt'\\
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x\left(t\right) & =3t^{2}-6t\end{align}</math>
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E para o intervalo <math display="inline">\left[1,2\right]</math>, sendo <math display="inline">\varphi_{1}\left(t\right)=3t^{2}-6t</math>, agora temos o mesmo <math display="inline">\tau=1</math>, mas <math display="inline">t_{0}=1</math>, e novamente <math display="inline">x\left(t_{0}\right)=\varphi_{1}\left(t_{0}\right)</math>. Então:
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<math display="block">\begin{align}
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\dot{x}\left(t\right)= & 6\varphi_{1}\left(t-1\right) & 1\leq t & \leq2\\
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x\left(1\right)= & -3 & t & =1\end{align}</math>Logo:
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<math display="block">\begin{align}
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\frac{dx}{dt} & =6\left(3\left(t-1\right)^{2}-6\left(t-1\right)\right)\\
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\frac{dx}{dt} & =6\left(3t^{2}-6t+3-6t+6\right)\\
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\frac{dx}{dt} & =6\left(3t^{2}-12t+9\right)\\
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\int_{x\left(1\right)}^{x\left(t\right)}dx' & =6\int_{1}^{t}\left(3t'^{2}-12t+9\right)dt'\\
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x\left(t\right)+3 & =6\left(3\left(\frac{t^{3}}{3}-\frac{1}{3}\right)-12\left(\frac{t^{2}}{2}-\frac{1}{2}\right)+9\left(t-1\right)\right)\\
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x\left(t\right) & =6\left(t^{3}-1-6t^{2}+6+9t-9\right)-3\\
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x\left(t\right) & =6t^{3}-36t^{2}+54t-27\end{align}</math>
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A solução no intervalo <math display="inline">\left[0,2\right]</math> é então:
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<math display="block">\begin{align}
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x\left(t\right) & =3t^{2}-6t & 0\leq t\leq1\\
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x\left(t\right) & =6t^{3}-36t^{2}+54t-27 & 1\leq t\leq2\end{align}</math>
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======Principais materiais utilizados:======
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*[http://people.uleth.ca/~roussel/nld/delay.pdf Delay-differential equations] (MarcR.Roussel, Universidade de Lethbridge)
 +
*[https://www.research-collection.ethz.ch/bitstream/handle/20.500.11850/142209/eth-39927-02.pdf Stability and stabilization of time-delay systems] (Gerhard Manfred Schoen, Instituto Federal de Tecnologia de Zurique)
  
  
 
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{{Ecologia| [[Introdução à equações diferenciais com atraso]] |[[Estabilidade]]}}

Edição das 15h21min de 16 de junho de 2021

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O problema de valor inicial do sistema:

para uma dada entrada consiste em determinar a solução contínua para de forma que e para onde , sendo que é chamado muitas vezes de função inicial, ainda é comum assumir que . Além disso, é importante comentar que uma função de dimensão finita tem a propriedade de que o estado em qualquer tempo pode ser especificado listando um conjunto finito de valores, então de modo análogo, uma função de dimensão infinita exige um conjunto infinito de valores. Quando se fornece as condições iniciais para um sistema finito, só precisamos fornecer um pequeno conjunto de valores (basicamente os valores iniciais), porem para resolver uma equação com atraso, é preciso fornecer uma quantidade infinita, dessa equações diferenciais com atraso possuem dimensionalidade infinita.

Uma forma melhor de entender esta questão é pensar na solução da DDE (delayed differential equation) como um mapeamento de funções no intervalo em funções no intervalo . Em outras palavras a solução pode ser pensada como uma sequência de funções definidas sobre um conjunto de intervalos contíguos de tempo com tamanho .

Retornando à discussão da solução, a solução desejada é encontrada em intervalos sucessivos resolvendo equações diferenciais ordinários sem atraso em cada intervalo. Por exemplo, tendo um sistema:

Então para o sistema pode ser representado como uma equação ordinária diferencial. Para isso precisamos lembrar que em um instante qualquer , o valor da função é dado no instante , mas , e nesta condição temos . Isto é:

Então se obtermos a solução no segmento , pode-se obter uma solução análoga para o próximo intervalo.

Exemplo:

Considerando o sistema:

Podemos observar que e ainda . Então para o intervalo :

Resolvendo então, uma vez que , então:

E para o intervalo , sendo , agora temos o mesmo , mas , e novamente . Então:

Logo:


A solução no intervalo é então:

Principais materiais utilizados:


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