Sistemas de equações diferenciais com atrasos fixos - SIRS

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O sistema

O exemplo a ser considerado é da biologia matemática, muitas ferramentas matemáticas utilizado na dinâmica de populações encontra-se também na dinâmica de epidemias. O objetivo deste tópico não é se aprofundar na modelagem em si, mas a utilizar como motivação para compreender melhor os sistemas de equações diferenciais com atraso baseado no artigo "Oscillations in SIRS model with distributed delays".

Uma doença do tipo SIRS é caracterizada por um tempo de infecção e um tempo de imunidade . Isto é, um indivíduo que se infecte em um tempo vai deterministicamente se recuperar em um tempo , tornando-se temporariamente imune por um tempo . Então no instante perde a imunidade tornando-se suscetível novamente. Este sistema pode ser representado por um conjunto de equações para a fração de população infecciosa (e infectada) e suscetível :

Onde é a taxa de contágio por indivíduo. A fração da subpopulação em recuperação (imune) é dada por . O primeiro termos em ambas as equações representa o contágio dos suscetíveis pelos infecciosos, daqui em diante muitas vezes será referido como: . Os segundos termos representam a recuperação ou a perda de imunidade após e decorrido desde a infecção, respectivamente. Isto é:

Em outras palavras, uma fração se contagia no instante , no instante ela se recupera, diminuindo os infecciosos. No instante ela perde a imunidade, aumentando a quantidade de suscetíveis. Estas equações exigem condições iniciais, matematicamente usualmente se fornece funções arbitrárias e no intervalo . Porém de um ponto de vista epidemiológico, é razoável prover condições iniciais em e dinâmicas complementares nos intervalos e .

• somente contágio local. Utiliza-se as equações apenas com os primeiros termos, sem atraso.
• Transição do estágio de infeccioso para em recuperação, ou seja, retira-se apenas o segundo termo na equação da dinâmica dos suscetíveis.

E com as condições iniciais:

Ponto de equilíbrio

Para análise dos pontos de equilíbrio uma representação integral é uma forma melhor forma de representar o sistema, pois se fizermos algo análogo ao que foi feito em Equações diferenciais com atrasos, não será possível obter nenhuma informação sobre o ponto de equilíbrio, pois aparentemente qualquer par de valores poderia representar um ponto de equilíbrio. Para a dinâmica dos infecciosos é proposto então:

A interpretação é direta, integra-se sobre sobre todos os indivíduos que se contagiaram entre o tempo e . Estes serão os infecciosos no instante , uma vez que todos infectados anteriormente a este tempo já estarão recuperados. A constante de integração a princípio é arbitrária, mas espera-se que pois não deve haver outras fontes de infecções adicionais. Complementariamente:

Pelo lado esquerdo, pode-se perceber ver que isto se refere a população que não está se recuperando, isto é , ou seja, os infectados e suscetíveis. A integral cobre os contágios que ocorreram durante anterior. Desta forma, esta integral fornece o número de pessoas que estão no período de recuperação, logo é razoável supor que uma vez que também não há outras fontes de pessoas em recuperação. Para um estado de equilíbrio então que a fração de contagiados em um instante qualquer é constante, pode-se escrever . Para :

E para , de maneira análoga:

Uma vez que . Lembrando que , então no estado de equilíbrio , denotando os pontos de equilíbrio apenas como e , obtém-se do primeiro resultado:

E do segundo:

Assim o ponto de equilíbrio é: .

Validade da aproximação e sistema de equações sem atraso

Uma atenção especial deve ser dada a consideração de que quando foi proposto a equação integral para . A formulação matemática do modelo sem atraso é usualmente escrito como:

Integrando a equação da dinâmica de do sistema sem atraso, de a , obtém-se:

Considerando no equilíbrio que :

Sendo que no equilíbrio os valores são constantes e :

De onde é possível obter também o mesmo ponto de equilíbrio obtido anteriormente:

Outra formar de comparar as equações, é que para obter versão integral apresentada para a partir de::

É é necessário que o termo entre colchete seja zerado. Isto é, considerando que no equilíbrio e sejam constantes:

Desta forma a condição imposta anteriormente é recuperada. Agora percebe-se que o ponto de equilíbrio é independente das condições iniciais, depende apenas dos parâmetros escolhidos e . Por exemplo, resolvendo numericamente o sistema de equações diferenciais proposto, com os parâmetros , e , e condições iniciais , o sistema atinge o equilíbrio precisamente nos pontos calculados.

Solução numérica do sistema de equações diferenciais sem atraso obtido via Mathematica.

Além disto, pode-se verificar que e , concordando com nossos cálculos analíticos. Isto implica que no equilíbrio, a população total infecciosa em um instante é sempre dada inteiramente pelos que foram infectados durante um período anterior , ou seja, a área dada pelo retângulo de largura e altura , uma vez que no equilíbrio as frações e são constantes. Estes resultados concordam com a suposição de que .

Porém tentando o mesmo procedimento para a equação com atraso, obtém-se:

Utilizando a consideração , é possível obter apenas . Para recuperar a equação original seria necessário que, de modo análogo a equação sem atraso, a seguinte igualdade fosse válida:

Isto é, de modo análogo ao caso anterior, que no equilíbrio a fração de infecciosos em um tempo seja dado inteiramente pelos que foram contagiados em um tempo . Porém neste caso qualquer par de pontos poderia consistir em um ponto de equilíbrio para um conjunto de parâmetros qualquer. A dependência se torna das condições iniciais. Utilizando por exemplo condições iniciais constantes como frequentemente é utilizado na literatura de equações com atraso, a própria condição inicial se torna um ponto de equilíbrio . Pode-se pensar que desta fração de infecciosos , a cada instante , uma quantidade de de infecciosos são curados, porém outra quantidade igual de suscetíveis são infectados, mantendo a taxa de variação zerada e a quantidade total de infecciosos constante. Assim sendo, pensando em situações reais, para um instante , há quantidade da fração que permanece infecciosa mesmo após , que soma-se aos novos infectados, mantendo a fração constante. Isto é, para a equação:

Então . Para retirar esta constante, pode-se pensar que é como se no equilíbrio precisasse de tempo para que uma pessoa infecciosa se curasse, ao invés de . Pois após tempo toda a população terá sido substituída por uma nova população infecciosa isto é , uma vez que a cada instante tem-se que uma fração da população suscetível sendo infectada, e outra fração da população infecciosa que se recuperou pois foi infectada em um instante anterior . . Reescrevendo a integral com este novo limite

Uma vez que para estas condições iniciais. Além disto, a expressão para é análoga a equação encontrada para o ponto de equilíbrio do sistema sem atraso, isto é . Toda discussão foi feita para condições iniciais constantes, quando se utiliza o método proposto, a análise torna-se mais complicada, mas ainda é notável que o ponto de equilíbrio depende das condições iniciais.Utilizando o conjunto de parâmetros , e , para diferentes valores iniciais é possível obter:

Solução em equilíbrio do sistema de equações diferenciais com atraso para diferentes valores iniciais de infecciosos.

Pode-se notar que aproximadamente:

Lembrando da integral proposta para a condição de equilíbrio condição de equilíbrio:

Novamente , mais especificamente . Este resultado faz sentido, pois de acordo com o procedimento proposto, não há momento em que os infecciosos iniciais se recuperam. Durante o tempo uma fração da população se infecta, e então esta mesma fração começa a se recuperar após , mas os infecciosos iniciais, nunca se recuperam, funcionando como fontes permanentes de infecção. Outra forma de comparar, é que olhando o conjunto de equações diferenciais originais o termo responsável pela recuperação dos infecciosos no instante depende da quantidade total de infecciosos no próprio instante . No conjunto de equações com atraso, é a fração da população da população que foi contagiada em um instante anterior. Ou seja, uma fração da população que se infectou em um instante , é a mesma que se recuperara em um instante posterior , porém a quantidade inicial de infecciosos não se contagiou em nenhum momento desta ’linha do tempo', então também não se recuperam em nenhum momento.

Porém ainda que , quanto mais próximo a população inicial de infecciosos for de , melhor será aproximação, Por isso a análise em torno do ponto de equilíbrio, e o próprio ponto de equilíbrio se torna uma aproximação válida apenas quando é adotado valores próximos de para .

Análise do ponto de equilíbrio

Obtendo a equação transcendental

Aplicando então uma perturbação nos pontos de equilíbrios, isto é: e pode-se obter uma aproximação linear em torno do ponto de equilíbrio (uma observação é que o teste utilizando os limites leva a uma indeterminação, uma vez que não há termo linear). Então analisando o termo que chamamos de contágios:

Ignorando os termos não lineares e denotando e :

Tem-se então:

E:

O sistema linearizado em torno do ponto de equilíbrio é então:

Reescrevendo matricialmente:Ou ainda:

A equação característica para um sistema do tipo:

É dado por:

A função é chamada de quase-polinômio característico. Como de costume, se para para todo , for o sistema é assintoticamente estável.

Detalhes:

• Se não houver atraso, a equação é reduzida a . Como para achar as raízes deve-se fazer , obtém-se o resultado tradicional.
• Se houver apenas uma equação, e não um sistema, então os termos serão constantes e não uma matrizes. Substituindo :

Então:

Obtém-se o quase-polinômio característico proposto pro sistema conforme. Dessa forma, a equação transcendental característica para o sistema que estamos interessados é:

Para encontrar as raízes

Esta equação é chamada de equação característica transcendental. Uma raiz é , e a outra pode ser obtida a partir de:

Como uma raiz é , se há um equilíbrio instável próximo ao ponto de equilíbrio.

• Observações:
  • Equação transcendental: equação que contém uma função transcendental da variável que deve ser resolvida.
  • Função transcendental: função que não satisfaz uma equação polinomial, em contraste com uma função algébrica, isto é, transcende a álgebra”. Um exemplo é a função exponencial.
  • Função algébrica: função que pode ser definida como a raiz de uma equação polinomial.

Soluções aproximadas são obtidas por métodos gráficos conforme feito anteriormente para soluções reais em Equações diferenciais com atrasos, ou até simplesmente observando o gráfico. Mas neste caso será utilizado algoritmos.

Obtendo as raízes da equação transcendental

Método de Newton

Também conhecido como método de Newton-Raphson, aproxima a função com uma linha. Esta linha atravessa o ponto e tem inclinação igual a derivada da própria função. Matematicamente isto é:

Então encontra-se o que atravessa o eixo e o utiliza como uma nova tentativa. Ou seja o segundo ponto sobre a reta é , então:

Para estender o método para o plano complexo, basta substituir variável real por uma variável complexa . A partir disto, o loop é repetido.

Aplicando o método

Então sendo:

Foi utilizado um algoritmo em Python para buscar as raízes complexas. O gráfico original é . Onde é chamado de taxa de reprodução básica. Para facilitar foi escolhido denotar . Com poucas manipulações é possível mostrar que:

Assim para um constante pode-se variar apenas e . Deste modo o algoritmo proposto busca a existência de raízes com parte real positiva, isto é, o conjunto de equações apresenta comportamento instável na proximidade do ponto de equilíbrio. Esta busca ocorre para cada par de valores na malha formada por , onde e , com intervalos de . Especificamente em cada par de valores é executado o algoritmo de Newton-Raphson com o chute inicial partindo de cada ponto possível do plano complexo dentro da região delimitada por , com espaçamento entre os pontos de . Isto ocorre enquanto nenhuma raiz com parte real positiva seja encontrada, além disso, é realizada no máximo tentativas de aproximação, e é considerado se .

A esquerda a imagem original retirada do artigo. A região preta são soluções sem oscilação e a colorida onde há a presença de oscilações. A direita a imagem obtida através do algoritmo proposto onde a região verde indica que foi encontrado autovalores positivos.

Algoritmos

O conjunto de equações diferenciais sem atraso pode ser solucionado via Mathematica:

tmax = 400; b = 0.4; ti = 5; tr = 5;
sol = NDSolve[{
    s'[t] == -b*s[t]*i[t] + r[t]/tr,
    i'[t] == +b*s[t]*i[t] - i[t]/ti,
    r'[t] == i[t]/ti - r[t]/tr,
    s[0] == 0.5, i[0] == 0.5, r[0] == 0},
   {s, i, r}, {t, 0, 500}];
Plot[{i[t] /. sol, s[t]} /. sol, {t, 0, 500}, PlotRange -> {0., 1.}]

O sistema de equações diferenciais com atraso pode ser pode ser solucionado via Python utilizando o método de Euler conforme proposto :

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#Função para resolver o sistema de equações diferenciais
def sistema(R0,R1):
    #Parâmetro R0=b.ti
    #Parâmetro R1=tr/ti
    #Parâmetros da dinâmica
    b =4
    ti=R0/b
    tr=R1*R0/b
    to=ti+tr
    # Listas para guardar a evolução do sistema
    s=[]
    i=[]
    d=0.001 #Passo para o método de Euler
    #Primeira parte:
    N1=int(ti/d)     #Quantidade de passos
    i.append(1e-16)  #Condição inicial de inectado i0
    s.append(1-i[0]) #Condição inicial de suscetíveis s0=1-i0
    #Resolve o sistema Usando o método de Euler
    for k in range(N1):
        s.append(s[k]+d*(-b*s[k]*i[k]))
        i.append(i[k]+d*(b*s[k]*i[k]))
    #Segunda parte
    N2=int(to/d)
    for k in range(N1,N2):
        s.append(s[k]+d*(-b*s[k]*i[k]))
        i.append(i[k]+d*(b*s[k]*i[k]-b*s[k-int(ti/d)]*i[k-int(ti/d)]))
    #Terceira parte
    N3=int(1800/d)
    for k in range(N2,N3):
        s.append(s[k]+d*(-b*s[k]*i[k]+b*s[k-int(to/d)]*i[k-int(to/d)]))
        i.append(i[k]+d*(+b*s[k]*i[k]-b*s[k-int(ti/d)]*i[k-int(ti/d)]))

O sistema também pode ser resolvido via Mathematica:

b = 0.8; ti = 5; to = 20;
ci1 = NDSolve[{
    s1'[t] == -b*s1[t]*i1[t],
    i1'[t] == +b*s1[t]*i1[t],
    s1[0] == 0.99, i1[0] == 0.01},
   {s1, i1}, {t, 0, ti}];
ci2 = NDSolve[{
    s2'[t] == -b*s2[t]*i2[t],
    i2'[t] == +b*s2[t]*i2[t] - b*s2[t - ti]*i2[t - ti],
    s2[t /; t <= ti] == s1[t] /. ci1, 
    i2[t /; t <= ti] == i1[t] /. ci1},
   {s2, i2}, {t, 0, to}];
sol = NDSolve[{
    s'[t] == -b*s[t]*i[t] + b*s[t - to]*i[t - to],
    i'[t] == +b*s[t]*i[t] - b*s[t - ti]*i[t - ti],
    s[t /; t <= to] == s2[t] /. ci2, i[t /; t <= to] == i2[t] /. ci2},
   {s, i}, {t, 0, 300}];
Plot[{i[t] /. sol, s[t] /. sol}, {t, 0, 300}, PlotRange -> {0., 1.}]

O código abaixo foi escrito em Python e é responsável por buscas raízes complexas com a parte real positiva na equação transcendental discutida anteriormente.

#Código para resolver a equação transcendental
def raizes():
    sol=np.zeros((35,90)) # Matriz para guardar as raízes
    err=1e-12             # Erro admitido   
    sy=0
    for R0 in np.arange(1,10,0.1):      #Percorrer os valores RO=b.
        print(str(100*(sy+1)/90)+"%")
        sx=0
        for R1 in np.arange(0,3.5,0.1): #Percorrer os valores R1=tr/ti
            #Parâmetros da dinâmica
            b =4
            ti=R0/b
            tr=R1*R0/b
            to=ti+tr
            #Pontos de equilíbrio
            io=(b*ti-1)/(b*to)
            so=1/(b*ti)
            #Matriz das raízes para os parâmetros atuais
            r=np.zeros((20, 20))
            #Os chutes iniciais serão pontos dentro da malha [-1,1] em 2D
            m=0
            for a in np.arange(-1,1,0.1):
                n=0
                for y in np.arange(-1,1,0.1):
                    i=y*1j
                    x=a+i  # Ponto inicial
                    N=10000000 # Quantidade máxima de aproximações
                    #Valor da função para o chute inicial
                    f=x+b*(so*(np.power(np.e,-x*ti)-1)-io*(np.power(np.e,-x*to)-1))
                    for k in range(N):
                        if (k==N-2):
                            print("!") #Indicando que chegou no último passo sem achar a raízs
                        if (abs(f)<err):
                            break        # Se chou a raíz, do loop
                        try:
                            f =x+b*(so*(np.power(np.e,-x*ti)-1)-io*(np.power(np.e,-x*to)-1))
                            df=1+b*(to*io*np.power(np.e,-x*to)-ti*so*np.power(np.e,-x*ti))
                            nx=x-f/df        # Próximo chute
                            x=nx
                        except:
                            print(str(R0)+","+str(R1))
                            break
                    if(abs(np.real(x))<err):   # A raíz é zero
                        r[m,n]=0
                    elif (np.real(x)>0):        # Raíz positiva
                        r[m,n]=1
                        break
                    else:
                        r[m,n]=-1               # Raíz negativa
                    n=n+1
                else:        # Quando acabar o loop interno
                    m=m+1
                    continue # Continua
                break        # Se o loop interno foi encerrado antes da hora, encerra o externo
            res=[]        
            for i in range(20):
                res.append(max(r[i]))
            sol[sx,sy]=max(res)                 # Se houve raíz positiva, obtém.
            sx=sx+1
        sy=sy+1
    #Registra
    f = open("raizes.dat", "w")
    for i in sol:
         for j in i:
             f.write(str(j)+"	")
         f.write("\n")
    f.close()
raizes()

A partir dos dados gerados com o código anterior, é possível visualizá-los em R com o seguinte código:

library('tseries')      #Bibliotea pra ler matriz
library('plot.matrix')  #Biblioteca pra plotar matriz

m <- read.matrix( "Raizes.dat") #Os dados são lidos no formato de matriz
m<-t(m)                         # São feitas algumas correções devido à ordem que os dados são gravados
m <-m[90:2, 1:35]
rownames(m) <- (99:11)/10       #Ajusta-se os nomes das linhas e colunas
colnames(m) <- (0:34)/10
#E plota-se
plot(m, col=c('black', 'white', 'green'), breaks=c(-2, -0.25,0.25, 2), xlab='R1', ylab='R0',main='Raizes',border=NA)   

Principais materiais utilizados

1. Oscillations in SIRS model with distributed delays (S. Gonçalves e outros, The European Physical Journal B)
2. Root finding algorithms (Eugeniy E. Mikhailov, Faculdade de William e Mary)
3. Stability and stabilization of time-delay systems ( Gerhard Manfred Schoen ,Instituto Federal de Tecnologia de Zurique)

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