Exibir código-fonte para Sistemas de equações diferenciais com atrasos fixos - SIRS

{{Ecologia| [[Análise de estabilidade de equações diferenciais lineares atrasadas | Equações diferenciais com atrasos]] |[[Contexto]]}}


=== O sistema ===
O exemplo a ser considerado é da biologia matemática, muitas ferramentas matemáticas utilizado na dinâmica de populações encontra-se também na dinâmica de epidemias. O objetivo deste tópico não é se aprofundar na modelagem em si, mas a utilizar como motivação para compreender melhor os sistemas de equações diferenciais com atraso baseado no artigo "''Oscillations in SIRS model with distributed delays''".

Uma doença do tipo SIRS é caracterizada por um tempo de infecção <math display="inline">\tau_{i}</math> e um tempo de imunidade <math display="inline">\tau_{r}</math>. Isto é, um indivíduo que se infecte em um tempo <math display="inline">t</math> vai deterministicamente se recuperar em um tempo <math display="inline">t+\tau_{i}</math>, tornando-se temporariamente imune por um tempo <math display="inline">\tau_{r}</math>. Então no instante <math display="inline">t+\tau_{i}+\tau_{r}\equiv t+\tau_{0}</math> perde a imunidade tornando-se suscetível novamente. Este sistema pode ser representado por um conjunto de equações para a fração de população infecciosa (e infectada) <math display="inline">i\left(t\right)</math> e suscetível <math display="inline">s\left(t\right)</math>:

<math display="block">\dot{s}\left(t\right)=-\beta s\left(t\right)i\left(t\right)+\beta s\left(t-\tau_{0}\right)i\left(t-\tau_{0}\right)</math>

<math display="block">\dot{i}\left(t\right)=\beta s\left(t\right)i\left(t\right)-\beta s\left(t-\tau_{i}\right)i\left(t-\tau_{i}\right)</math>

Onde <math display="inline">\beta</math> é a taxa de contágio por indivíduo. A fração da subpopulação em recuperação (imune) é dada por <math display="inline">r\left(t\right)=1-s\left(t\right)-i\left(t\right)</math>. O primeiro termos em ambas as equações representa o contágio dos suscetíveis pelos infecciosos, daqui em diante muitas vezes será referido como: <math display="inline">c\left(t\right)=\beta s\left(t\right)i\left(t\right)</math>. Os segundos termos representam a recuperação ou a perda de imunidade após <math display="inline">\tau_{i}</math> e <math display="inline">\tau_{0}</math> decorrido desde a infecção, respectivamente. Isto é:

<math display="block">\dot{s}\left(t\right)=-c\left(t\right)+c\left(t-\tau_{0}\right)</math>

<math display="block">\dot{i}\left(t\right)=c\left(t\right)-c\left(t-\tau_{i}\right)</math>

Em outras palavras, uma fração <math display="inline">c\left(t\right)</math> se contagia no instante <math display="inline">t</math>, no instante <math display="inline">t+\tau_{i}</math> ela se recupera, diminuindo os infecciosos. No instante <math display="inline">t+\tau_{i}+\tau_{r}</math> ela perde a imunidade, aumentando a quantidade de suscetíveis. Estas equações exigem condições iniciais, matematicamente usualmente se fornece funções arbitrárias <math display="inline">s\left(t\right)</math> e <math display="inline">i\left(t\right)</math> no intervalo <math display="inline">\left[-\tau_{0},0\right]</math>. Porém de um ponto de vista epidemiológico, é razoável prover condições iniciais em <math display="inline">t=0</math> e dinâmicas complementares nos intervalos <math display="inline">\left[0,\tau_{i}\right)</math> e <math display="inline">\left[\tau_{i},\tau_{0}\right)</math> .

*<math display="inline">\left[0,\tau_{i}\right)\rightarrow</math> somente contágio local. Utiliza-se as equações apenas com os primeiros termos, sem atraso.
*<math display="inline">\left[\tau_{i},\tau_{0}\right)\rightarrow</math>Transição do estágio de infeccioso para em recuperação, ou seja, retira-se apenas o segundo termo na equação da dinâmica dos suscetíveis.

E com as condições iniciais:

<math display="block">s\left(0\right)=1-i_{0},i\left(0\right)=i_{0},r\left(0\right)=0</math>

=== Ponto de equilíbrio ===

Para análise dos pontos de equilíbrio uma representação integral é uma forma melhor forma de representar o sistema, pois se fizermos algo análogo ao que foi feito em [[Análise de estabilidade de equações diferenciais lineares atrasadas | Equações diferenciais com atrasos]], não será possível obter nenhuma informação sobre o ponto de equilíbrio, pois aparentemente qualquer par de valores poderia representar um ponto de equilíbrio. Para a dinâmica dos infecciosos é proposto então:

<math display="block">i\left(t\right)=c_{1}+\int_{t-\tau_{i}}^{t}c\left(u\right)du</math>

A interpretação é direta, integra-se sobre sobre todos os indivíduos que se contagiaram entre o tempo <math display="inline">t-\tau_{i}</math> e <math display="inline">t</math>. Estes serão os infecciosos no instante <math display="inline">t</math>, uma vez que todos infectados anteriormente a este tempo já estarão recuperados. A constante de integração <math display="inline">c_{1}</math> a princípio é arbitrária, mas espera-se que <math display="inline">c_{1}=0</math> pois não deve haver outras fontes de infecções adicionais. Complementariamente:

<math display="block">1-r\left(t\right)=c_{2}-\int_{t-\tau_{0}}^{t-\tau_{i}}c\left(u\right)du</math>

Pelo lado esquerdo, pode-se perceber ver que isto se refere a população que não está se recuperando, isto é <math display="inline">1-r\left(t\right)=s\left(t\right)+i\left(t\right)</math>, ou seja, os infectados e suscetíveis. A integral cobre os contágios que ocorreram durante <math display="inline">\tau_{r}</math> anterior. Desta forma, esta integral fornece o número de pessoas que estão no período de recuperação, logo é razoável supor que <math display="inline">c_{2}=1</math> uma vez que também não há outras fontes de pessoas em recuperação. Para um estado de equilíbrio então que a fração de contagiados em um instante <math>t</math> qualquer é constante, pode-se escrever <math display="inline">c\left(u\right)=c_{0}</math> . Para <math display="inline">i\left(t_{0}\right)</math>:

<math display="block">\begin{align}
i\left(t_{0}\right) & =c_{0}\int_{t_{0}-\tau_{i}}^{t_{0}}du\\
 & =c_{0}\left(t_{0}-t_{0}+\tau_{i}\right)\\
 & =c_{0}\tau_{i}\end{align}</math>

E para <math display="inline">s\left(t_0\right)</math>, de maneira análoga:

<math display="block">\begin{align}
s\left(t_{0}\right) & =1-\int_{t_{0}-\tau_{0}}^{t_{0}-\tau_{i}}c\left(u\right)du-i\left(t_{0}\right)\\
 & =1-c_{0}\int_{t_{0}-\tau_{0}}^{t_{0}-\tau_{i}}du-c_{0}\tau_{i}\\
 & =1-c_{0}\left(t_{0}-\tau_{i}-t_{0}+\tau_{0}\right)-c_{0}\tau_{i}\\
 & =1-c_{0}\left(-\tau_{i}+\tau_{i}+\tau_{r}\right)-c_{0}\tau_{i}\\
 & =1-c_{0}\tau_{r}-c_{0}\tau_{i}\\
 & =1-c_{0}\left(\tau_{r}+\tau_{i}\right)\\
 & =1-c_{0}\tau_{0}\end{align}</math>

Uma vez que <math>s\left(t\right)=1-r\left(t\right)-i\left(t\right)</math>. Lembrando que <math display="inline">c\left(t\right)=\beta s\left(t\right)i\left(t\right)</math> , então no estado de equilíbrio <math display="inline">c_{0}=\beta s\left(t_{0}\right)i\left(t_{0}\right)</math>, denotando os pontos de equilíbrio apenas como <math display="inline">s\left(t_{0}\right)=s^{*}</math> e <math display="inline">i\left(t_{0}\right)=i^{*}</math>, obtém-se do primeiro resultado:

<math display="block">\begin{align}
i^{*} & =\beta s^{*}i^{*}\tau_{i}\\
s^{*} & =\frac{1}{\beta\tau_{i}}\end{align}</math>

E do segundo:

<math display="block">\begin{align}
1 & =1-\beta s^{*}i^{*}\tau_{0}\\
1 & =\frac{1}{s^{*}}-\beta i^{*}\tau_{0}\\
\beta i^{*}\tau_{0} & =\beta\tau_{i}-1\\
i^{*} & =\frac{\beta\tau_{i}-1}{\beta\tau_{0}}\end{align}</math>

Assim o ponto de equilíbrio é: <math display="inline">\left(s^{*},i^{*}\right)=\left(\frac{1}{\beta\tau_{i}},\frac{\beta\tau_{i}-1}{\beta\tau_{0}}\right)</math>.

==== Validade da aproximação e sistema de equações sem atraso ====

Uma atenção especial deve ser dada a consideração de que <math display="inline">c_{1}=0</math> quando foi proposto a equação integral para <math display="inline">i\left(t\right)</math>. A formulação matemática do modelo sem atraso é usualmente escrito como:

<math display="block">\begin{align}
\frac{ds\left(t\right)}{dt}= & -\beta s\left(t\right)i\left(t\right)+\frac{r\left(r\right)}{\tau_{r}}\\
\frac{di\left(t\right)}{dt}= & \beta s\left(t\right)i\left(t\right)-\frac{i\left(r\right)}{\tau_{i}}\\
\frac{dr\left(t\right)}{dt}= & \frac{i\left(r\right)}{\tau_{i}}-\frac{r\left(r\right)}{\tau_{r}}\end{align}</math>

Integrando a equação da dinâmica de <math display="inline">i\left(t\right)</math> do sistema sem atraso, de <math display="inline">t^{*}-\tau_{i}</math> a <math display="inline">t^{*}</math>, obtém-se:

<math display="block">\begin{align}
\frac{di\left(t\right)}{dt} & =\beta s\left(t\right)i\left(t\right)-\frac{i\left(t\right)}{\tau_{i}}\\
\int_{i\left(t^{*}-\tau_{i}\right)}^{i\left(t^{*}\right)}di & =\int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}\beta s\left(t\right)i\left(t\right)dt-\frac{1}{\tau_{i}}\int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}i\left(t\right)dt\\
i\left(t^{*}\right) & =\int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}\beta s\left(t\right)i\left(t\right)dt+\left[i\left(t^{*}-\tau_{i}\right)-\frac{1}{\tau_{i}}\int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}i\left(t\right)dt\right]{eq:tri}\end{align}</math>

Considerando no equilíbrio que <math display="inline">i\left(t^{*}\right)=i\left(t^{*}-\tau_{i}\right)</math>:

<math display="block">\begin{align}
0 & =\int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}\beta s\left(t\right)i\left(t\right)dt-\frac{i^{*}}{\tau_{i}}\int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}i\left(t\right)dt\\
\frac{i^{*}}{\tau_{i}}\int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}i\left(t\right)dt & =\int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}\beta s\left(t\right)i\left(t\right)dt\end{align}</math>

Sendo que no equilíbrio os valores são constantes <math display="inline">i\left(t\right)=i^{*}</math> e <math display="inline">s\left(t\right)=s^{*}</math>:

<math display="block">\begin{align}
\frac{i^{*}}{\tau_{i}}\int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}dt & =\beta s^{*}i^{*}\int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}dt\\
i^{*} & =\beta s^{*}i^{*}\tau_{i}{eq:siete}\end{align}</math>

De onde é possível obter também o mesmo ponto de equilíbrio obtido anteriormente:

<math display="block">\begin{align}
s^{*} & =\frac{1}{\beta\tau_{i}}\end{align}</math>

Outra formar de comparar as equações, é que para obter versão integral apresentada para <math display="inline">i\left(t\right)</math> a partir de::

<math display="block">i\left(t^{*}\right)=\int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}\beta s\left(t\right)i\left(t\right)dt+\left[i\left(t^{*}-\tau_{i}\right)-\frac{1}{\tau_{i}}\int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}i\left(t\right)dt\right]</math>

É é necessário que o termo entre colchete seja zerado. Isto é, considerando que no equilíbrio <math display="inline">i\left(t^{*}-\tau_{i}\right)</math> e <math display="inline">i\left(t^{*}-\tau_{i}\right)</math> sejam constantes:

<math display="block">\begin{align}
i\left(t^{*}-\tau_{i}\right) & =\frac{1}{\tau_{i}}\int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}i\left(t\right)dt\\
i\left(t^{*}-\tau_{i}\right) & =i\left(t^{*}\right)\end{align}</math>

Desta forma a condição imposta anteriormente é recuperada. Agora percebe-se que o ponto de equilíbrio é independente das condições iniciais, depende apenas dos parâmetros escolhidos <math display="inline">\beta,\tau_{i}</math> e <math display="inline">\tau_{r}</math>. Por exemplo, resolvendo numericamente o sistema de equações diferenciais proposto, com os parâmetros <math display="inline">\beta=0.4</math>, <math display="inline">\tau_{i}=5</math> e <math display="inline">\tau_{r}=50</math>, e  condições iniciais <math display="inline">\left(s_{0},i_{0}\right)=\left(0.5,0.5\right)</math>, o sistema atinge o equilíbrio precisamente nos pontos calculados. 
[[Ficheiro:sem_atraso.png|miniaturadaimagem|Solução numérica do sistema de equações diferenciais sem atraso obtido via Mathematica.]]


Além disto, pode-se verificar que <math display="inline">i^{*}\approx0.45</math> e <math display="inline">c^{*}=\beta s^{*}i^{*}\tau_{i}\approx0.45</math>, concordando com nossos cálculos analíticos. Isto implica que no equilíbrio, a população total infecciosa em um instante <math display="inline">t</math> é sempre dada inteiramente pelos que foram infectados durante um período anterior <math display="inline">t-\tau_{i}</math>, ou seja, a área dada pelo retângulo de largura <math display="inline">\tau_{i}</math> e altura <math display="inline">\beta s^{*}i^{*}</math>, uma vez que no equilíbrio as frações <math display="inline">i\left(t\right)</math> e <math display="inline">s\left(t\right)</math> são constantes. Estes resultados concordam com a suposição de que <math display="inline">c_{1}=0</math>. 

Porém tentando o mesmo procedimento para a equação com atraso, obtém-se:

<math display="block">\begin{align}
\frac{di\left(t\right)}{dt}= & \beta s\left(t\right)i\left(t\right)-\beta s\left(t-\tau_{i}\right)i\left(t-\tau_{i}\right)\\
\int_{i\left(t^{*}-\tau_{i}\right)}^{i\left(t^{*}\right)}di= & \int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}\beta s\left(t\right)i\left(t\right)dt-\int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}\beta s\left(t-\tau_{i}\right)i\left(t-\tau_{i}\right)dt\\
i\left(t^{*}\right)= & \int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}\beta s\left(t\right)i\left(t\right)dt+\left[i\left(t^{*}-\tau_{i}\right)-\int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}\beta s\left(t-\tau_{i}\right)i\left(t-\tau_{i}\right)dt\right]{eq:cat}\end{align}</math>

Utilizando a consideração <math display="inline">i\left(t^{*}\right)=i\left(t^{*}-\tau_{i}\right)</math>, é possível obter apenas <math display="inline">i\left(t^{*}\right)=i\left(t^{*}\right)</math>. Para recuperar a equação original seria necessário que, de modo análogo a equação sem atraso, a seguinte igualdade fosse válida:

<math display="block">i\left(t^{*}\right)=\int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}\beta s\left(t\right)i\left(t\right)dt</math>

Isto é, de modo análogo ao caso anterior, que no equilíbrio a fração de infecciosos em um tempo <math display="inline">t</math> seja dado inteiramente pelos que foram contagiados em um tempo <math display="inline">t-\tau_{i}</math>. Porém neste caso qualquer par de pontos <math display="inline">\left(i^{*},s^{*}\right)</math> poderia consistir em um ponto de equilíbrio para um conjunto de parâmetros <math display="inline">\left\{ \beta,\tau_{i},\tau_{r}\right\}</math> qualquer. A dependência se torna das condições iniciais. Utilizando por exemplo condições iniciais constantes como frequentemente é utilizado na literatura de equações com atraso, a própria condição inicial se torna um ponto de equilíbrio <math display="inline">i_{0}=i^{*}</math>. Pode-se pensar que desta fração <math display="inline">i^{*}</math> de infecciosos , a cada instante <math display="inline">t</math>, uma quantidade de <math display="inline">c=\beta i_{0}s_{0}</math> de infecciosos são curados, porém outra quantidade igual <math display="inline">c</math> de suscetíveis são infectados, mantendo a taxa de variação zerada e a quantidade total de infecciosos constante. Assim sendo, pensando em situações reais, para um instante <math display="inline">t</math>, há  quantidade <math display="inline">i_{c}=i_{0}-c</math> da fração que permanece infecciosa mesmo após <math>\tau_i</math>,  que soma-se aos novos infectados, mantendo a fração constante. Isto é, para a equação:

<math display="block">i\left(t\right)=c_{1}+\int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}\beta s\left(t\right)i\left(t\right)dt</math>

Então <math display="inline">c_{1}\neq0</math>. Para retirar esta constante, pode-se pensar que é como se no equilíbrio precisasse de <math display="block">n=\frac{i_{0}}{c}=\frac{i_{0}}{\beta i_{0}s_{0}}=\frac{1}{\beta s_{0}}</math> tempo para que uma pessoa infecciosa se curasse, ao invés de <math display="inline">\tau_{i}</math>. Pois após <math display="inline">n</math> tempo toda a população <math display="inline">i_{0}</math> terá sido substituída por uma nova população infecciosa isto é <math display="inline">i_{0}-nc=0</math>, uma vez que a cada instante <math display="inline">t=n</math> tem-se que uma fração <math display="inline">c</math> da população suscetível sendo infectada, e outra fração <math>c</math> da população infecciosa que se recuperou pois foi infectada em um instante anterior  <math display="inline">t-\tau_{i}</math>. . Reescrevendo a integral com este novo limite

<math display="block">i\left(t\right)=\int_{t^{*}-n}^{t^{*}}\beta s\left(t\right)i\left(t\right)dt=\beta s^{*}i^{*}n=\frac{\beta s^{*}i^{*}}{\beta s_{0}}=i^{*}</math>

Uma vez que <math display="inline">s_{0}=s^{*}</math> para estas condições iniciais. Além disto, a expressão para <math>n</math> é análoga a equação encontrada para o ponto de equilíbrio do sistema sem atraso, isto é <math display="inline">\tau_{i}=1/ \beta s^{*}</math>. Toda discussão foi feita para condições iniciais constantes, quando se utiliza o método proposto, a análise torna-se mais complicada, mas ainda é notável que o ponto de equilíbrio depende das condições iniciais.Utilizando o conjunto de parâmetros <math display="inline">\beta=0.4</math>, <math display="inline">\tau_{i}=5</math> e <math display="inline">\tau_{r}=50</math>, para diferentes valores iniciais é possível obter:
[[Ficheiro:Com_atraso.png|centro|miniaturadaimagem|730x357px|Solução em equilíbrio do sistema de equações diferenciais com atraso para diferentes valores iniciais de infecciosos.]]

Pode-se notar que aproximadamente:

<div class="center", align="center">
{| class="wikitable"
! align="center" |<math display="inline">i_{0}=</math>
! align="center" |<math display="inline">\tau_{i}c\approx</math>
! align="center" |<math display="inline">i^{*}\approx</math>
|-
| align="center" |<math display="inline">0.20</math>
| align="center" |<math display="inline">0.06</math>
| align="center" |<math display="inline">0.26</math>
|-
| align="center" |<math display="inline">0.15</math>
| align="center" |<math display="inline">0.06</math>
| align="center" |<math display="inline">0.21</math>
|-
| align="center" |<math display="inline">0.10</math>
| align="center" |<math display="inline">0.06</math>
| align="center" |<math display="inline">0.16</math>
|-
| align="center" |<math display="inline">0.05</math>
| align="center" |<math display="inline">0.06</math>
| align="center" |<math display="inline">0.11</math>
|}


</div>
Lembrando da integral proposta para a condição de equilíbrio condição de equilíbrio:

<math display="block">\begin{align}
i\left(t\right) & =  c_1 +\int_{t^{*}-\tau_{i}}^{t^{*}}c\left(t\right)dt{eq:veinte}\end{align}</math>

Novamente <math display="inline">c_{1}\neq0</math>, mais especificamente <math>i_0=c_1</math>. Este resultado faz sentido, pois de acordo com o procedimento proposto, não há momento em que os infecciosos iniciais <math display="inline">i_{0}</math> se recuperam. Durante o tempo <math display="inline">0\leq t<\tau_{i}</math> uma fração da população se infecta, e então esta mesma fração começa a se recuperar após <math display="inline">t>\tau_{i}</math>, mas os infecciosos iniciais, nunca se recuperam, funcionando como fontes permanentes de infecção. Outra forma de comparar, é que olhando o conjunto de equações diferenciais originais o termo responsável pela recuperação dos infecciosos no instante <math display="inline">t</math> depende da quantidade total de infecciosos no próprio instante <math display="inline">t</math>. No conjunto de equações com atraso, é a fração da população da população que foi contagiada em um instante anterior. Ou seja, uma fração da população que se infectou em um instante <math display="inline">t</math>, é a mesma que se recuperara em um instante posterior <math display="inline">t+\tau_{i}</math>, porém a quantidade inicial de infecciosos não se contagiou em nenhum momento desta ’linha do tempo', então também não se recuperam em nenhum momento. 

Porém ainda que <math display="inline">c_{1}\neq0</math>, quanto mais próximo a população inicial de infecciosos for de <math display="inline">0</math>, melhor será aproximação, Por isso a análise em torno do ponto de equilíbrio, e o próprio ponto de equilíbrio se torna uma aproximação válida apenas quando é adotado valores próximos de <math display="inline">0</math> para <math display="inline">i_{0}</math>.

=== Análise do ponto de equilíbrio ===

==== Obtendo a equação transcendental ====

Aplicando então uma perturbação nos pontos de equilíbrios, isto é: <math display="inline">s\left(t\right)=s^{*}+x\left(t\right)</math> e <math display="inline">i</math><math display="inline">\left(t\right)=i^{*}+y\left(t\right)</math> pode-se obter uma aproximação linear em torno do ponto de equilíbrio (uma observação é que o teste utilizando os limites leva a uma indeterminação, uma vez que não há termo linear). Então analisando o termo que chamamos de contágios:

<math display="block">\begin{align}
c\left(t\right) & =\beta s\left(t\right)i\left(t\right)\\
\frac{c\left(t\right)}{\beta} & =\left(s^{*}+x\left(t\right)\right)\left(i^{*}+y\left(t\right)\right)\\
 & =s^{*}i^{*}+i^{*}x\left(t\right)+s^{*}y\left(t\right)+x\left(t\right)y\left(t\right)\end{align}</math>

Ignorando os termos não lineares e denotando <math display="inline">f\left(t\right)=f</math> e <math display="inline">f\left(t-\tau\right)=f_{\tau}</math>:

<math display="block">\begin{align}
\frac{c}{\beta} & =s^{*}i^{*}+i^{*}x+s^{*}y\end{align}</math>

Tem-se então:

<math display="block">\begin{align}
\frac{\dot{x}}{\beta}= & -\left(s^{*}i^{*}+i^{*}x+s^{*}y\right)+\left(s^{*}i^{*}+i^{*}x_{\tau_{0}}+s^{*}y_{\tau_{0}}\right)\\
 & =-\left(i^{*}x+s^{*}y\right)+\left(i^{*}x_{\tau_{0}}+s^{*}y_{\tau_{0}}\right)\end{align}</math>

E:

<math display="block">\begin{align}
\frac{\dot{y}}{\beta}= & -\left(s^{*}i^{*}+i^{*}x_{\tau_{i}}+s^{*}y_{\tau_{i}}\right)+\left(s^{*}i^{*}+i^{*}x+s^{*}y\right)\\
 & =\left(i^{*}x+s^{*}y\right)-\left(i^{*}x_{\tau_{i}}+s^{*}y_{\tau_{i}}\right)\end{align}</math>

O sistema linearizado em torno do ponto de equilíbrio é então:

<math display="block">\begin{align}
\frac{\dot{x}}{\beta} & =-\left(i^{*}x+s^{*}y\right)+\left(i^{*}x_{\tau_{0}}+s^{*}y_{\tau_{0}}\right)\\
\frac{\dot{y}}{\beta} & =+\left(i^{*}x+s^{*}y\right)-\left(i^{*}x_{\tau_{i}}+s^{*}y_{\tau_{i}}\right)\end{align}</math>Reescrevendo matricialmente:<math display="block">\left(\begin{array}{c}
\dot{x}\\
\dot{y}
\end{array}\right)=\beta\left(\begin{array}{cc}
-i^{*} & -s^{*}\\
i^{*} & s^{*}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{cc}
i^{*} & s^{*}\\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{\tau_{0}}\\
y_{\tau_{0}}
\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
-i^{*} & -s^{*}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_{\tau_{i}}\\
y_{\tau_{i}}
\end{array}\right)</math>Ou ainda:<math display="block">\dot{\boldsymbol{x}}\left(t\right)=A_{0}\boldsymbol{x}+A_{1}\boldsymbol{x}\left(t-\tau_{0}\right)+A_{2}\boldsymbol{x}\left(t-\tau_{i}\right)</math>

A equação característica para um sistema do tipo:

<math display="block">\dot{\boldsymbol{x}}\left(t\right)=A_{0}\boldsymbol{x}\left(t\right)+\sum_{i=1}^{k}A_{i}\boldsymbol{x}\left(t-T_{i}\right)</math> É dado por:

<math display="block">\det\left[\Delta\left(\lambda\right)\right]=\det\left[\lambda\mathbb{I}-A_{0}-\sum_{i=1}^{k}A_{i}e^{-\lambda T_{i}}\right]</math>

A função <math display="inline">\Delta\left(\lambda\right)</math> é chamada de quase-polinômio característico. Como de costume, se para para todo <math display="inline">\lambda\in\mathbb{C}</math>, for <math display="inline">Re\left(\lambda\right)<0</math> o sistema é assintoticamente estável.

Detalhes:

* Se não houver atraso, a equação é reduzida a <math display="inline">\det\left[\lambda\mathbb{I}-A_{0}\right]</math>. Como para achar as raízes deve-se fazer <math display="inline">\det\left[\Delta\left(\lambda\right)\right]=0</math>, obtém-se o resultado tradicional.
* Se houver apenas uma equação, e não um sistema, então os termos <math display="inline">A_{j}</math> serão constantes e não uma matrizes. Substituindo <math display="inline">x\left(t\right)=ce^{\lambda t}</math>:

<math display="block">\begin{align}
\lambda ce^{\lambda t} & =A_{0}ce^{\lambda t}+\sum_{i=1}^{k}A_{i}ce^{\lambda t}e^{-\lambda T_{i}}\\
\lambda & =A_{0}+\sum_{i=1}^{k}A_{i}e^{-\lambda T_{i}}\end{align}</math>

Então:

<math display="block">\lambda-A_{0}-\sum_{i=1}^{k}A_{i}e^{-\lambda T_{i}}=0</math>

Obtém-se o quase-polinômio característico proposto pro sistema conforme. Dessa forma, a equação transcendental característica para o sistema que estamos interessados é:

<math display="block">\begin{align}
\det\left[\Delta\left(\lambda\right)\right]= & \det\left[\lambda\mathbb{I}-A_{0}-A_{1}e^{-\lambda\tau_{0}}-A_{2}e^{-\lambda\tau_{i}}\right]\\
= & \det\left[\left(\begin{array}{cc}
\lambda & 0\\
0 & \lambda
\end{array}\right)-\beta\left(\begin{array}{cc}
-i^{*} & -s^{*}\\
i^{*} & s^{*}
\end{array}\right)-\beta\left(\begin{array}{cc}
i^{*} & s^{*}\\
0 & 0
\end{array}\right)e^{-\lambda\tau_{0}}+\beta\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
i^{*} & s^{*}
\end{array}\right)e^{-\lambda\tau_{i}}\right]\\
= & \det\left[\left(\begin{array}{cc}
\lambda+\beta i^{*}\left(1-e^{-\lambda\tau_{0}}\right) & \beta s^{*}\left(1-e^{-\lambda\tau_{0}}\right)\\
\beta i^{*}\left(e^{-\lambda\tau_{i}}-1\right) & \lambda+\beta\left(e^{-\lambda\tau_{i}}-1\right)s^{*}
\end{array}\right)\right]\\
= & \left[\lambda+\beta i^{*}\left(1-e^{-\lambda\tau_{0}}\right)\right]\left[\lambda+\beta\left(e^{-\lambda\tau_{i}}-1\right)s^{*}\right]-i^{*}\beta\left(e^{-\lambda\tau_{i}}-1\right)s^{*}\beta\left(1-e^{-\lambda\tau_{0}}\right)\\
= & \lambda^{2}+\lambda\beta\left[s^{*}\left(e^{-\lambda\tau_{i}}-1\right)-i^{*}\left(e^{-\lambda\tau_{0}}-1\right)\right]+\beta^{2}s^{*}i^{*}\left(e^{-\lambda\tau_{i}}-1\right)\left(1-e^{-\lambda\tau_{0}}\right)-\beta^{2}s^{*}i^{*}\left(e^{-\lambda\tau_{i}}-1\right)\left(1-e^{-\lambda\tau_{0}}\right)\\
= & \lambda^{2}+\lambda\beta\left[s^{*}\left(e^{-\lambda\tau_{i}}-1\right)-i^{*}\left(e^{-\lambda\tau_{0}}-1\right)\right]\end{align}</math>

Para encontrar as raízes

<math display="block">\begin{align}
\lambda^{2}+\lambda\beta\left[s^{*}\left(e^{-\lambda\tau_{i}}-1\right)-i^{*}\left(e^{-\lambda\tau_{0}}-1\right)\right] & =0\end{align}</math>

Esta equação é chamada de equação característica transcendental. Uma raiz é <math display="inline">\lambda=0</math>, e a outra pode ser obtida a partir de:

<math display="block">\begin{align}
\lambda+\beta\left[s^{*}\left(e^{-\lambda\tau_{i}}-1\right)-i^{*}\left(e^{-\lambda\tau_{0}}-1\right)\right] & =0\end{align}</math>

Como uma raiz é <math display="inline">\lambda_{1}=0</math>, se <math display="inline">\lambda_{2}>0</math> há um equilíbrio instável próximo ao ponto de equilíbrio.

* Observações:
** [https://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_equation Equação transcendental]: equação que contém uma função transcendental da variável que deve ser resolvida.
** [https://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_function Função transcendental]: função que não satisfaz uma equação polinomial, em contraste com uma função algébrica, isto é, transcende a álgebra”. Um exemplo é a função exponencial.
** [https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_function Função algébrica]: função que pode ser definida como a raiz de uma equação polinomial.

Soluções aproximadas são obtidas por métodos gráficos conforme feito anteriormente para soluções reais em [[Análise de estabilidade de equações diferenciais lineares atrasadas |Equações diferenciais com atrasos]], ou até simplesmente observando o gráfico. Mas neste caso será utilizado algoritmos.

==== Obtendo as raízes da equação transcendental ====

===== Método de Newton =====

Também conhecido como método de Newton-Raphson, aproxima a função com uma linha. Esta linha atravessa o ponto <math display="inline">\left(x_{i},f\left(x_{i}\right)\right)</math> e tem inclinação igual a derivada da própria função. Matematicamente isto é:

<math display="block">\begin{align}
f'\left(x_{i}\right)= & \frac{y_{i+1}-f\left(x_{i}\right)}{x_{i+1}-x_{i}}\\
x_{i+1}= & x_{i}+\frac{\left(y_{i+1}-f\left(x_{i}\right)\right)}{f'\left(x_{i}\right)}\end{align}</math>

Então encontra-se o <math display="inline">x</math> que atravessa o eixo e o utiliza como uma nova tentativa. Ou seja o segundo ponto sobre a reta é <math display="inline">\left(x_{i+1},0\right)</math>, então:

<math display="block">\begin{align}
x_{i+1}= & x_{i}-\frac{f\left(x_{i}\right)}{f'\left(x_{i}\right)}\end{align}</math>

Para estender o método para o plano complexo, basta substituir variável real <math display="inline">x</math> por uma variável complexa <math display="inline">z=x+yi</math>. A partir disto, o loop é repetido.

===== Aplicando o método =====

Então sendo:

<math display="block">\begin{align}
f\left(\lambda\right) & =\lambda+\beta\left[s^{*}\left(e^{-\lambda\tau_{i}}-1\right)-i^{*}\left(e^{-\lambda\tau_{0}}-1\right)\right]\\
f'\left(\lambda\right) & =1+\beta\left[\tau_{0}i^{*}e^{-\lambda\tau_{0}}-s^{*}\tau_{i}e^{-\lambda\tau_{i}}\right]\end{align}</math>

Foi utilizado um algoritmo em Python para buscar as raízes complexas. O gráfico original é <math display="inline">R_{0}\times\frac{\tau_{r}}{\tau_{i}}</math>. Onde <math display="inline">R_{0}=\beta\tau_{i}</math> é chamado de taxa de reprodução básica. Para facilitar foi escolhido denotar <math display="inline">R_{1}=\frac{\tau_{r}}{\tau_{i}}</math>. Com poucas manipulações é possível mostrar que:

<math display="block">\begin{align}
\tau_{i}= & \frac{R_{0}}{\beta}\\
\tau_{r}= & \frac{R_{1}R_{0}}{\beta}\end{align}</math>

Assim para um <math display="inline">\beta</math> constante pode-se variar apenas <math display="inline">R_{0}</math> e <math display="inline">R_{1}</math>. Deste modo o algoritmo proposto busca a existência de raízes com parte real positiva, isto é, o conjunto de equações apresenta comportamento instável na proximidade do ponto de equilíbrio. Esta busca ocorre para cada par de valores <math display="inline">\left(R_{1},R_{0}\right)</math> na malha formada por <math display="inline">R_{0}\times R_{1}</math>, onde <math display="inline">1<R_{0}<10</math> e <math display="inline">0\leq R_{1}<3.5</math>, com intervalos de <math display="inline">\Delta=0.1</math>. Especificamente em cada par de valores é executado o algoritmo de Newton-Raphson com o chute inicial partindo de cada ponto possível do plano complexo dentro da região delimitada por <math display="inline">-1\leq\mathbb{R}\left(\lambda\right),\mathbb{I}\left(\lambda\right)<1</math> , com espaçamento entre os pontos de <math>\Delta=0.1</math>. Isto ocorre enquanto nenhuma raiz com parte real positiva seja encontrada, além disso, é realizada no máximo <math>N=10^7</math> tentativas de aproximação, e é considerado <math>f\left(x\right)=0</math> se <math>\left|f\left(x\right)\right|<10^{-12}</math>.

[[Ficheiro:raizes.png|centro|miniaturadaimagem|620x221px|A esquerda a imagem original retirada do artigo. A região preta são soluções sem oscilação e a colorida onde há a presença de oscilações. A direita a imagem obtida através do algoritmo proposto onde a região verde indica que foi encontrado autovalores positivos.]]


=== Algoritmos ===

O conjunto de equações diferenciais sem atraso pode ser solucionado via [https://www.wolfram.com/mathematica/index.html.pt-br?footer=lang Mathematica]:
 tmax = 400; b = 0.4; ti = 5; tr = 5;
 sol = NDSolve[{
     s'[t] == -b*s[t]*i[t] + r[t]/tr,
     i'[t] == +b*s[t]*i[t] - i[t]/ti,
     r'[t] == i[t]/ti - r[t]/tr,
     s[0] == 0.5, i[0] == 0.5, r[0] == 0},
    {s, i, r}, {t, 0, 500}];
 Plot[{i[t] /. sol, s[t]} /. sol, {t, 0, 500}, PlotRange -> {0., 1.}]
O sistema de equações diferenciais com atraso pode ser pode ser solucionado via [https://www.python.org/ Python] utilizando o método de Euler conforme proposto :
 import matplotlib.pyplot as plt
 import numpy as np
 #Função para resolver o sistema de equações diferenciais
 def sistema(R0,R1):
     #Parâmetro R0=b.ti
     #Parâmetro R1=tr/ti
     #Parâmetros da dinâmica
     b =4
     ti=R0/b
     tr=R1*R0/b
     to=ti+tr
     # Listas para guardar a evolução do sistema
     s=[]
     i=[]
     d=0.001 #Passo para o método de Euler
     #Primeira parte:
     N1=int(ti/d)     #Quantidade de passos
     i.append(1e-16)  #Condição inicial de inectado i0
     s.append(1-i[0]) #Condição inicial de suscetíveis s0=1-i0
     #Resolve o sistema Usando o método de Euler
     for k in range(N1):
         s.append(s[k]+d*(-b*s[k]*i[k]))
         i.append(i[k]+d*(b*s[k]*i[k]))
     #Segunda parte
     N2=int(to/d)
     for k in range(N1,N2):
         s.append(s[k]+d*(-b*s[k]*i[k]))
         i.append(i[k]+d*(b*s[k]*i[k]-b*s[k-int(ti/d)]*i[k-int(ti/d)]))
     #Terceira parte
     N3=int(1800/d)
     for k in range(N2,N3):
         s.append(s[k]+d*(-b*s[k]*i[k]+b*s[k-int(to/d)]*i[k-int(to/d)]))
         i.append(i[k]+d*(+b*s[k]*i[k]-b*s[k-int(ti/d)]*i[k-int(ti/d)]))
O sistema também pode ser resolvido via Mathematica:
 b = 0.8; ti = 5; to = 20;
 ci1 = NDSolve[{
     s1'[t] == -b*s1[t]*i1[t],
     i1'[t] == +b*s1[t]*i1[t],
     s1[0] == 0.99, i1[0] == 0.01},
    {s1, i1}, {t, 0, ti}];
 ci2 = NDSolve[{
     s2'[t] == -b*s2[t]*i2[t],
     i2'[t] == +b*s2[t]*i2[t] - b*s2[t - ti]*i2[t - ti],
     s2[t /; t <= ti] == s1[t] /. ci1, 
     i2[t /; t <= ti] == i1[t] /. ci1},
    {s2, i2}, {t, 0, to}];
 sol = NDSolve[{
     s'[t] == -b*s[t]*i[t] + b*s[t - to]*i[t - to],
     i'[t] == +b*s[t]*i[t] - b*s[t - ti]*i[t - ti],
     s[t /; t <= to] == s2[t] /. ci2, i[t /; t <= to] == i2[t] /. ci2},
    {s, i}, {t, 0, 300}];
 Plot[{i[t] /. sol, s[t] /. sol}, {t, 0, 300}, PlotRange -> {0., 1.}]
O código abaixo foi escrito em Python e é responsável por buscas raízes complexas com a parte real positiva na equação transcendental discutida anteriormente.
 #Código para resolver a equação transcendental
 def raizes():
     sol=np.zeros((35,90)) # Matriz para guardar as raízes
     err=1e-12             # Erro admitido   
     sy=0
     for R0 in np.arange(1,10,0.1):      #Percorrer os valores RO=b.
         print(str(100*(sy+1)/90)+"%")
         sx=0
         for R1 in np.arange(0,3.5,0.1): #Percorrer os valores R1=tr/ti
             #Parâmetros da dinâmica
             b =4
             ti=R0/b
             tr=R1*R0/b
             to=ti+tr
             #Pontos de equilíbrio
             io=(b*ti-1)/(b*to)
             so=1/(b*ti)
             #Matriz das raízes para os parâmetros atuais
             r=np.zeros((20, 20))
             #Os chutes iniciais serão pontos dentro da malha [-1,1] em 2D
             m=0
             for a in np.arange(-1,1,0.1):
                 n=0
                 for y in np.arange(-1,1,0.1):
                     i=y*1j
                     x=a+i  # Ponto inicial
                     N=10000000 # Quantidade máxima de aproximações
                     #Valor da função para o chute inicial
                     f=x+b*(so*(np.power(np.e,-x*ti)-1)-io*(np.power(np.e,-x*to)-1))
                     for k in range(N):
                         if (k==N-2):
                             print("!") #Indicando que chegou no último passo sem achar a raízs
                         if (abs(f)<err):
                             break        # Se chou a raíz, do loop
                         try:
                             f =x+b*(so*(np.power(np.e,-x*ti)-1)-io*(np.power(np.e,-x*to)-1))
                             df=1+b*(to*io*np.power(np.e,-x*to)-ti*so*np.power(np.e,-x*ti))
                             nx=x-f/df        # Próximo chute
                             x=nx
                         except:
                             print(str(R0)+","+str(R1))
                             break
                     if(abs(np.real(x))<err):   # A raíz é zero
                         r[m,n]=0
                     elif (np.real(x)>0):        # Raíz positiva
                         r[m,n]=1
                         break
                     else:
                         r[m,n]=-1               # Raíz negativa
                     n=n+1
                 else:        # Quando acabar o loop interno
                     m=m+1
                     continue # Continua
                 break        # Se o loop interno foi encerrado antes da hora, encerra o externo
             res=[]        
             for i in range(20):
                 res.append(max(r[i]))
             sol[sx,sy]=max(res)                 # Se houve raíz positiva, obtém.
             sx=sx+1
         sy=sy+1
     #Registra
     f = open("raizes.dat", "w")
     for i in sol:
          for j in i:
              f.write(str(j)+"	")
          f.write("\n")
     f.close()
 raizes()
A partir dos dados gerados com o código anterior, é possível visualizá-los em [https://www.r-project.org/ R] com o seguinte código:
 library('tseries')      #Bibliotea pra ler matriz
 library('plot.matrix')  #Biblioteca pra plotar matriz
 
 m <- read.matrix( "Raizes.dat") #Os dados são lidos no formato de matriz
 m<-t(m)                         # São feitas algumas correções devido à ordem que os dados são gravados
 m <-m[90:2, 1:35]
 rownames(m) <- (99:11)/10       #Ajusta-se os nomes das linhas e colunas
 colnames(m) <- (0:34)/10
 #E plota-se
 plot(m, col=c('black', 'white', 'green'), breaks=c(-2, -0.25,0.25, 2), xlab='R1', ylab='R0',main='Raizes',border=NA)   

=== Principais materiais utilizados ===

# [https://arxiv.org/abs/0912.1250 Oscillations in SIRS model with distributed delays] (S. Gonçalves e outros, The European Physical Journal B)
# [http://physics.wm.edu/~evmik/classes/matlab_book/ch_root_finding/ch_root_finding.pdf Root finding algorithms] (Eugeniy E. Mikhailov, Faculdade de William e Mary)
# [https://www.research-collection.ethz.ch/bitstream/handle/20.500.11850/142209/eth-39927-02.pdf Stability and stabilization of time-delay systems] ( Gerhard Manfred Schoen ,Instituto Federal de Tecnologia de Zurique)

{{Ecologia| [[Análise de estabilidade de equações diferenciais lineares atrasadas | Equações diferenciais com atrasos]] |[[Contexto]]}}