Shooting method e Método de Crank-Nicolson: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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==Poço de potencial infinito==
==Poço de potencial infinito==
Esquematicamente, tem-se:
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O potencial pode ser descrito como:
O potencial pode ser descrito como:
<center><math>
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   V(x) =
   V(x) =

Edição das 16h58min de 12 de fevereiro de 2023

O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson.

Equação de Schrödinger

A equação de Schrödinger unidimensional pode ser escrita da seguinte maneira:

Para resolvê-la é necessário efetuar uma separação de variáveis:

Aplicando na primeira equação e separando os termos espaciais dos termos temporais, chega-se a uma equação com o seguinte formato:

Pelo fato da parte da esquerda ser dependente de t e a parte da direita ser dependente de x e de ambas estarem relacionadas por uma igualdade, é necessário que ambos os lados sejam constantes: em outras palavras, não é possível modificar um lado sem necessariamente alterar o outro. Através de um raciocínio perspicaz, a constante em questão será denominada E.

Parte temporal

A parte que diz respeito à evolução temporal:

A solução geral possui o seguinte formato

cuja constante C pode, neste caso, ser absorvida, de modo que

Parte espacial

Quanto à parte espacial, utilizando o mesmo raciocínio empregado anteriormente, a equação pode ser escrita como

Para este caso, no entanto, não há uma única solução, pois esta depende do potencial V escolhido. Para o presente trabalho optou-se por trabalhar com o caso do poço infinito de potencial pelo fato das soluções analíticas já serem conhecidas, de modo a tornar possível avaliar os resultados numéricos obtidos à luz da solução analítica.

Poço de potencial infinito

Esquematicamente, tem-se:

Poço de potencial infinito

O potencial pode ser descrito como:

Dentro do poço, onde $V=0$, o problema pode ser modelado da seguinte maneira

ou

onde

A solução é dada por

Aplicando as condições de contorno e efetuando a normalização da função de onda, obtém-se a solução geral

cujas energias discretizadas são

Utilizando a equação acima, pode-se calcular os valores da energia de cada estado estacionário. Para o caso de um elétron, as energias referentes aos três estados estacionários são eV, eV e eV.

Na próxima seção será feita uma estimativa dos valores acima expostos através do "Shooting method".